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hallo leute ich da hab nen riesen problem, ne lange aufgabe und ich hab noch nicht mal nen plan wo und wie ich ansetzten soll, und keine ahnung wie man so was aufschreibt.
ich schreib erstmal sie komplette aufgabe auf.
wir betrachten die teilmengen A und B von R² und ihre summe A + B = [mm] \{ \vec{a} + \vec{b} : \vec{a} \in A und \vec{b} \in B }
[/mm]
Beweisen sie:
a) wenn eine der beiden Mengen A oder B offen ist dann ist auch ihre summe offen
b) wenn A und B zusammenhängend sind, dann ist auch A + B zusammenhängend( betrachtung von stetigen einstelligen vektorfunktionen)
c) wenn A und B kompakt sind, dann ist auch A + B kompakt.
also ich hab mir erstmal begriffe klar gemacht aber ich komm trotzdem nicht weiter und ich hab auch keine ahnung wie man das aufschreibt
ich bin für jede hilfe sehr dankbar
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Hallo Schiepchen,
> wir betrachten die teilmengen A und B von R² und ihre summe
> A + B = [mm] \{ \vec{a} + \vec{b} : \vec{a} \in A \wedge \vec{b} \in B \}
[/mm]
>
> Beweisen sie:
> a) wenn eine der beiden Mengen A oder B offen ist dann ist
> auch ihre summe offen
A ist offen heißt, dass Du um jeden Vektor a eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung findest, die in A liegt. Was passiert, wenn Du zu dieser Umgebung einen Vektor b aus B addierst? Wie sieht das als Umgebung von A+B aus?
Reicht das als Tipp?
> b) wenn A und B zusammenhängend sind, dann ist auch A+B
> zusammenhängend( betrachtung von stetigen einstelligen
> vektorfunktionen)
Das soll wohl heißen, dass es zu allen Punkten [mm] a_1 [/mm] nach [mm] a_2 [/mm] aus A einen stetigen Verbindungsweg zwischen beiden gibt und ebenso zwischen [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] aus B. Weg als Funktion mit Parameter t. Was passiert, wenn Du diese beiden Wege punktweise (also die Vektoren für jedes t) addierst?
> c) wenn A und B kompakt sind, dann ist auch A + B
> kompakt.
A kompakt heißt, dass von jeder offenen Überdeckung endlich viele ausreichen. Du hast unter a) gezeigt, dass die Summe von A-offenen und B-offenen Mengen offen ist. Das gilt auch umgekehrt: Wenn Du eine offene Teilmenge von A+B hast, so erhälst Du durch Verschiebung mit einem geeigneten b aus B eine A-offene Menge bzw. durch Verschiebeung mit einem a eine B-offene Menge: Davon genügen je endlich viele um A, bzw. um B zu überdecken (Voraussetzung). Was heißt das für die Überdeckung von A+B selbst?
Oder sollt ihr Folgenkompaktheit verwenden?
Ich hoffe, das reicht für einen Anfang, Grüße Richard
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vielen dank richard, also du hast mir echt weiter geholfen indem du mir die sachen anschaulich erklärt hast, werd da mal ansetzen und probieren, dann werd ich dir meine lösungen geben und wir werden sehen was rausgekommen ist,
liebe grüße schiepchen
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also ich hab das mal durchprobiert, und ich kann mir das einfach nicht vorstellen, was das für die umgebung heißt, also eigentlich kann ich mir alle drei teil aufgaben nicht vorstellen, es wäre nett wenn mir das jemand noch mal erklären könnte. ich weiß was gemeint ist aber mir fehlt einfach das vorstellungs vermögen
danke schon mal im voraus
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Hallo Schiepchen,
da bin ich nun auch etwas ratlos...
Vielleicht hilft Dir SEckis Hinweis weiter?
Wenn Du ihn nicht ganz verstehst:
A + b ist die Verschiebung von A um b. Wenn A offen ist, ist auch A + b offen und die Vereinigung offener Menegen ist definitionsgemäß offen, d. h :
[mm] \bigcup_{b\in B}(A+b) [/mm] = (A + [mm] b_1) \cup [/mm] (A + [mm] b_2) \cup [/mm] (A + [mm] b_3) [/mm] + ... für alle [mm] b_i \in [/mm] B ergibt ja A + B. Das war die Idee von SEcki.
Du müsstest jetzt klären, auf welche Art ihr Zusammenhang und Kompaktheit zeigen sollt, d.h.: wie wurde es in der Vorlesung definiert?
Schreib das mal auf und was Du daran nicht verstehst.
SEckis Idee für die Folgenkompaktheit:
Du hast eine Folge [mm] \{x_n:x\in\IN\} [/mm] aus A+B, die muss sich mit Werten aus A und B darstellen lassen: [mm] x_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n.
[/mm]
Für die Summandenfolgen weißt Du aufgrund der Kompaktheit von A und B, dass sie konvergente Teilfolgen enthalten: Jetzt bastelst Du Dir daraus eine konvergente Teilfolge von [mm] \{x_n:x\in\IN\} [/mm] zusammen
Gruß Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich mach noch ein paar Erläuterungen -vielleicht helfen sie dem OP.
> > a) wenn eine der beiden Mengen A oder B offen ist dann ist
> > auch ihre summe offen
> A ist offen heißt, dass Du um jeden Vektor a eine [mm]\epsilon[/mm]
> - Umgebung findest, die in A liegt. Was passiert, wenn Du
> zu dieser Umgebung einen Vektor b aus B addierst? Wie sieht
> das als Umgebung von A+B aus?
Geht das nicht schneller so: [m]A+B=\cup_{b\in B}t_b(A)[/m], wobei [m]t_b:\IR^n\to\IR,x\mapsto x+b[/m] affin linear ist, also insbesondere ein Homöomorphismus, also [m]t_b(A)[/m] offen, also alles. (Bzw. von Hand zeigen das der Shift um eienn vektor immer noch eine offene Menge ergibt)
> Reicht das als Tipp?
> > b) wenn A und B zusammenhängend sind, dann ist auch
> A+B
> > zusammenhängend( betrachtung von stetigen einstelligen
> > vektorfunktionen)
Ich finde hier die Aufgabenstellung etwas komisch: sie redet von Zusammenhang (also nicht umbedingt wegzusammenhang), und dann soll man einstellige Vektorfunktionen betrachten. Es müsste doch auch für den "normalen" Zusammenhang gelten - denn da A zusammenhängend ist, liegt [m]t_b(A)[/m] jeweils dann in einer zUsammenhangskomponente ganz drin (sonst gäbe es ja eine Zerlegung davon mittels Teilraumtopologie, also auch für A). Jetzt müsste doch alsbald B in zwei Zusammenhangskomponenten zerfallen - seh ich blos gerade nicht genau.
> Oder sollt ihr Folgenkompaktheit verwenden?
Ist wogl das leichteste - jede Folge in [m]A+b[/m] lässt sich darstellen als [m]a_n+b_n,a_n\in A,b_n \in B[/m]. Dann erstmal für die a's eine Teilfolge finden, dann für die b's - wie Bolzano-Weierstraß für komplexe Zahlen 
SEcki
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