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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
Hi, wie zeige ich ||a+b|-|a|-|b||<=2|b| für alle a,b aus [mm] \IR?
[/mm]
Bestimmt mit Fallunterscheidung(en), aber weiss nicht mehr, wie sowas genau geht. Gruß, Drossel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Hi, wie zeige ich ||a+b|-|a|-|b||<=2|b| für alle a,b aus
> [mm]\IR?[/mm]
> Bestimmt mit Fallunterscheidung(en), aber weiss nicht
> mehr, wie sowas genau geht. Gruß, Drossel
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
die Fallunterscheidungen haben das Ziel, die Ungleichungen so umzuformen, dass keine Beträge mehr drin vorkommen müssen.
Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten:
Manchmal (wann genau?) gilt |x|=x, und manchmal gilt |x|=-x.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:38 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
eigentlich würde ich sagen |x|=x wenn [mm] |a+b|\ge|a|+|b|aber [/mm] das ist doch falsch, aber es gilt ja immer |a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b| [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR
[/mm]
kann man dann so anfangen:
[mm] ||a+b|-|a|-|b||\le [/mm] 2|b|
-|a+b|+|a|+|b| [mm] \le [/mm] 2|b|?
|x|=x wenn [mm] x\ge0 [/mm] und |x|=-x wenn x<0 , meinst du so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Di 01.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Drossel,
> Bestimmt mit Fallunterscheidung(en)
Nicht unbedingt!
Du mußt nur die beiden Dreiecksungleichungen geschickt in eine Ungleichungskette einbauen:
$|x+y| [mm] \le [/mm] |x| + |y|$
und
[mm] $\bigl||x|-|y|\bigr| \le [/mm] |x-y|$.
Reicht das schon?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
Hmm.. also nicht so, oder?
||a+b|-|a|-|b|| [mm] \le [/mm] ||a|+|b|-|a-b||
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 01.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hmm.. also nicht so, oder?
> ||a+b|-|a|-|b|| [mm]\le[/mm] ||a|+|b|-|a-b||
Welche der beiden Dreiecksungleichungen hast Du hier angewendet?
Ich geb Dir mal den Anfang:
[mm] $\bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr|=\bigl|(|a+b|-|a|)+(-|b|)\bigr| \le \bigl||a+b|-|a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr|$
[/mm]
So, und jetzt noch die zweite Dreiecksungleichung, und Du bist fertig.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
Achso, man kann da einfach weitere Beträge reinmogeln?
[mm] |(|a+b|)-|a||+|-|b||\le [/mm] |(|a|+|b|)-|a|+|b||=||b|+|b||=2|b|?
wenn da irgentwas falsch ist, versuche ich das nochmal..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 01.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Achso, man kann da einfach weitere Beträge reinmogeln?
Nein! Ich habe nur die erste Dreiecksungleichung angewendet.
Also $|x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|$. Siehst Du, welche Ausdrücke ich für $x$ und $y$ eingesetzt habe?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
achso, ich stell mich manchmal an sry^^
[mm] \bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr|=\bigl|(|a+b|-|a|)+(-|b|)\bigr| \le \bigl||a+b|-|a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr|
[/mm]
dein x ist |a+b|-|a| und dein y (-|b|)
und jetzt anwenden von der 2ten.
[mm] \bigl||a+b|-|a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr| \le \bigl|a+b-a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr|
[/mm]
so etwa?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 01.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> achso, ich stell mich manchmal an sry^^
> [mm]\bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr|=\bigl|(|a+b|-|a|)+(-|b|)\bigr| \le \bigl||a+b|-|a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr|[/mm]
>
> dein x ist |a+b|-|a| und dein y (-|b|)
> und jetzt anwenden von der 2ten.
> [mm]\bigl||a+b|-|a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr| \le \bigl|a+b-a|\bigr|+\bigl|-|b|\bigr|[/mm]
>
> so etwa?
Genau!
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 01.05.2012 | | Autor: | drossel |
achso danke vielen dank=)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, wie zeige ich ||a+b|-|a|-|b||<=2|b| für alle a,b aus
> [mm]\IR?[/mm]
klar ist $|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|$ und damit $|a+b|-|a|-|b| [mm] \le 0\,.$ [/mm] Daher ist obige Ungleichung gleichwertig mit
$$|a|+|b|-|a+b| [mm] \le 2|b|=|b|+|b|\,,$$
[/mm]
also mit
$$|a|-|a+b| [mm] \le |b|\,.$$
[/mm]
Letztstehendes folgt aber aus
$$|a|=|a+b+(-b)| [mm] \le [/mm] |a+b|+|-b|$$
wegen [mm] $|-b|=|b|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:12 Mi 02.05.2012 | | Autor: | drossel |
cool =) vielen Dank
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