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| Aufgabe | Benutzen die den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für das Intervall [0,x] um zu zeigen, dass
[mm] x\le e^{x}-1 \le [/mm] x [mm] e^{x}
[/mm]
gilt. |
Hallo zusammen
von den beweisen mit mittelwertsatz haben wir zwar schon ein paar gerechnet, aber ich hab das prizip noch nich so ganz verstanden und hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.
Mittelwertsatz is ja: [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
[/mm]
Mein ansatz is dann
[mm] \bruch{e^{b}-1-e^{a}-1}{b-a}=a^\xi
[/mm]
mit a=0 und b=x dann
[mm] \bruch{e^x-2-e^0}{x-0}=e^\xi
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^x -3}{x}=e^\xi
[/mm]
is das soweit richtig, oder muss es [mm] \bruch{e^{b}-1}{b-a}=a^\xi [/mm] , oder was ganz anderes sein?
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Hallo Zwetschke!
Du hast leider Klammern unterschlagen. Es muss heißen:
[mm] $$e^{\xi} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{\left(}e^b-1\red{\right)}-\red{\left(}e^a-1\red{\right)}}{b-a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^b-1-e^a \ \red{+} \ 1}{b-a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^b-e^a}{b-a}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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wow, das ging schnell
hast recht, die klammern hatte ich vergessen
damit komm ich dann auf
[mm] \bruch{e^x -1}{x}=e^\xi
[/mm]
[mm] 0\le \xi \le [/mm] x
[mm] e^0 \le e^\xi \le e^x [/mm] darf ich doch machen, weil e ne monoton steigende funktion is, oder?
[mm] e^0 \le \bruch{e^x - 1}{x} \le e^x [/mm] |*x Geht das so ohne weiteres bei den [mm] \le [/mm] ?
[mm] e^0 \le e^x [/mm] - 1 [mm] \le xe^x
[/mm]
müsste so passen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Fr 30.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> wow, das ging schnell
>
> hast recht, die klammern hatte ich vergessen
>
> damit komm ich dann auf
>
> [mm]\bruch{e^x -1}{x}=e^\xi[/mm]
>
> [mm]0\le \xi \le[/mm] x
>
> [mm]e^0 \le e^\xi \le e^x[/mm] darf ich doch machen, weil e ne
> monoton steigende funktion is, oder?
darfst du
>
> [mm]e^0 \le \bruch{e^x - 1}{x} \le e^x[/mm] |*x
> Geht das so ohne weiteres bei den [mm]\le[/mm] ?
Auch das ist okay
Aber:
[mm] e^0 \le \bruch{e^{x} - 1}{x} \le e^x [/mm] mit x Multipliziert ergibt:
[mm] e^{0}*\red{x}\le e^{x}-1 \le e^{x}*x
[/mm]
>
> [mm]e^0 \le e^x[/mm] - 1 [mm]\le xe^x[/mm]
>
> müsste so passen, oder?
Marius
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hab ich auch so gemacht, nur leider falsch abgetippt.
Danke für eure schnelle Hilfe!
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