beweis für gruppe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien (G∗) und (H,) zwei gruppen. auf dem kreuzprodukt G:=GxH werden folgende Verknüpfungen definiert:
(i) (g,h)∘(g´,h´):=(g∗g´, hh´)
(ii) (g,h)⋄(g´,h´):=(g^-1∗g´, hh´)
bei welchen verknüpfungen entsteht eine gruppe? |
Hallöchen!
bräuchte mal ein bisschen hilfe!
also ich würde sagen dass (i) eine gruppe ist und (ii) nicht. d.h. ich muss die gruppenaxiome anwenden und das zu beweisen. ok. dass sind dann assoziativität mit (a∘b)∘c=a∘(b∘c); neutrales element und umkehrelement.
ich hab noch nie ne gruppe bewiesen und weiß jetzt nich wie ich die assoziativität zeigen soll. ich hab ja geordnete paare wegen dem kreuzprodunkt.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Es seien (G∗) und (H,) zwei gruppen. auf dem
> kreuzprodukt G:=GxH werden folgende Verknüpfungen
> definiert:
> (i) (g,h)∘(g´,h´):=(g∗g´, hh´)
> (ii) (g,h)⋄(g´,h´):=(g^-1∗g´, hh´)
> bei welchen verknüpfungen entsteht eine gruppe?
> Hallöchen!
> bräuchte mal ein bisschen hilfe!
> also ich würde sagen dass (i) eine gruppe ist und (ii)
> nicht. d.h. ich muss die gruppenaxiome anwenden und das zu
> beweisen. ok. dass sind dann assoziativität mit
> (a∘b)∘c=a∘(b∘c); neutrales element
> und umkehrelement.
> ich hab noch nie ne gruppe bewiesen und weiß jetzt nich
> wie ich die assoziativität zeigen soll. ich hab ja
> geordnete paare wegen dem kreuzprodunkt.....
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fang so an:
Seien a,b,c [mm] \in [/mm] GxH. Dann gibt es [mm] a_1, b_1, c_1 \in [/mm] G, [mm] a_2, b_2, c_2 \in [/mm] H mit [mm] a=(a_1, a_2), b=(b_1, b_2), c=(c_1, c_2).
[/mm]
Es ist
[mm] [a\circ b]\circ [/mm] c= [mm] [(a_1, a_2)\circ (b_1, b_2)] \circ (c_1, c_2) [/mm] = ...
Nun rechnest Du solange mit den Definitionen rum, bis Du am Ende [mm] ....=(a_1, a_2)\circ [(b_1, b_2) \circ (c_1, c_2) [/mm] ] = [mm] a\circ [b\circ [/mm] c] dastehen hast.
Daß in G und H das Assoziativgesetz gilt, weißt Du ja, denn die sind nach Voraussetzung Gruppen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
aha....mich hat das mit den unterschiedlichen verknüpfungszeichen verwirrt. du meinst ich kann das g und h einfach a,b,c umschreiben? das darf ich ja?
kann ich das neutrale element mit (g,h)∘(e,e)= (g∗e, he)=.... beweisen?
mache ich dann bei (ii) genau dasselbe? hab doch recht dass es keine gruppe ist, oder?
|
|
|
| |
|
> aha....mich hat das mit den unterschiedlichen
> verknüpfungszeichen verwirrt. du meinst ich kann das g und
> h einfach a,b,c umschreiben? das darf ich ja?
Hallo,
ja, Namen sind Schall und Rauch. Wichtig ist, aus welchen Mengen die kommen.
Ich hab' das so gemacht, daß die Mit Index "unten 1" aus G sind und die mit Index "unten 2" aus H.
Das muß man natürlich dazuschreiben.
> kann ich das neutrale element mit (g,h)∘(e,e)=
> (g∗e, he)=.... beweisen?
Fast.
Du darfst fürs neutrale Element in G und H nicht denselben Buchstaben nehmen, i.d.R. werden die ja verschieden sein.
So geht's:
Da G und H nach Voraussetzung Gruppen sind, haben sie neutrale Elemente [mm] e_G [/mm] bzw. [mm] e_H.
[/mm]
Setze [mm] e:=(e_G, e_H). [/mm]
Für alle [mm] (g,h)\in [/mm] GxH gilt
[mm] (g,h)\circ(e_G, e_H)=...
[/mm]
[mm] (e_G, e_H)\circ [/mm] (g,h)=...,
also ist e das neutrale Element in (GxH, [mm] \circ)
[/mm]
> mache ich dann bei (ii) genau dasselbe? hab doch recht dass
> es keine gruppe ist, oder?
Das sieht mir auch so aus.
Beweisen kannst Du das, indem Du zeigst, welche Gruppeneigenschaft verletzt wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
