beweis: glm. Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich versuche folgenden Satz zu beweisen (bzw. den Beweis nachzuvollziehen:
Vor.: Seien [mm] $x_{0}$ [/mm] Häufungspunkte von A, für alle $ n [mm] \in \IN: f_{n}: [/mm] A [mm] \to [/mm] B, f: A [mm] \to [/mm] B$ und $f= glm - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}, \alpha_{n} [/mm] := [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f_{n}(x)$ [/mm] exitiert für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Beh.: [mm] $\alpha_{n}) [/mm] kovergent, [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x)$ [/mm] exitiert und [mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x)= \limes_{n\rightarrow\infity} \alpha_{n}$. [/mm] Also: Limes von x->x0 und [mm] n->$\infty$ [/mm] kann man tauschen.
Meine Frage dazu. Wir beweisen diesen Satz mittels [mm] $\frac{\epsilon}{3}$ [/mm] .
Es ist mir eigentlich alles klar, bis auf: (Das steht jetzt so im Skript:)
Nach dem Cauchykriterium:
Sei [mm] $n_{0} \in \IN$ [/mm] so, dass gilt:
Es gibt ein [mm] $k_{0} \in \IN$ [/mm] sodass für alle k,l [mm] $\ge k_{0}: \parallel f_{n0}(x_{k})-f_{n0}(x_{l}) \parallel [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{3}$
[/mm]
Hat das etwas mit dem Cauchykriterium zu tun, das sagt nur dass [mm] $f_{n}$ [/mm] und [mm] $f_{m}$ [/mm] irgendwann näher als [mm] $\epsilon$ [/mm] beisammen sind.
Gilt das wirklich, oder bräuchte ich nicht die Stetigkeit von [mm] $f_{n}$?
[/mm]
Bin total ratlos, hoffe es kann mir jemand helfen und bedanke mich im voraus
martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
An dieser speziellen Stelle braucht man die Existenz des Grenzwertes [mm] $\alpha_{n_0} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to x_0} f_{n_0}(x)$.
[/mm]
Ist [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergente Folge, so konvergiert also die Folge [mm] $(f_{n_0}(x_n))_{n \in \IN}$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $(f_{n_0}(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge. Das wurde hier ausgenutzt.
Liebe Grüße
Stefan
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Vielen Dank für die Antwort.
Leider ist mir immer noch nicht alles so klar.
Heißt das, das aus der existenz von [mm]\alpha_{n_0} = \lim\limits_{x \to x_0} f_{n_0}(x)[/mm] die Stetigkeit vorausgsetzt ist, schliesslich wäre das ja die Definition von stetigkeit, dass [mm] $x_{n} \to [/mm] x [mm] \Rightarrow f_{n0}(x_{n}) \to f_{n0}(x)$ [/mm] geht. Wieso genügt dazu die Existenz des Grenzwertes?
Viele Grüße Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Martin!
Nein, daraus folgt weder die Stetigkeit noch benötigt man sie.
Es wird nur gesagt, dass [mm] $\lim\limits_{x \to x_0} f_{n_0}(x)$ [/mm] existiert, aber nicht unbedingt, dass dieser Grenzwert gleich [mm] $f_{n_0}(x_0)$ [/mm] ist (und dies wäre ja genau dann der Fall, wenn [mm] $f_{n_0}$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] stetig wäre).
Viele Grüße
Stefan
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