beweis: n!>2^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 28.10.2004 | | Autor: | ALT-F4 |
ich glaube das topic sagt alles....
n aus |N
also "empirisch" hab ich festgestellt, dass n>=4
doch beweisen kann ich es nicht
hab es schon mit der VI versucht, aber da bin ich gescheitert..
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.emath.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 28.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo ALT-F4,
man kann diese Aussage sogar recht leicht mit vollständiger Induktion beweisen, Du musst nur auf die Bedingungen achten, die Du gestellt hast:
Behauptung:
$n! > [mm] 2^n$ [/mm] für alle n > 3, n [mm] \in \IN
[/mm]
Beweis mittels vollständiger Induktion nach n:
Induktionsanfang:
Sei $n = 4$, dann gilt:
$4! = 24 > 16 = [mm] 2^4$
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
Gelte die Behauptung für ein n aus [mm] \IN.
[/mm]
Induktionsschritt:
$(n+1)! = (n+1)*n! [mm] \underbrace{>}_{IV} (n+1)*2^n \underbrace{>}_{da \,\,n > 3,\,\,\, also\,\, insbesondere\,\, n > 1} 2*2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Damit ist die Behauptung mit vollständiger Induktion nach n bewiesen.
Was haben wir gemacht?
Wir haben eine Seite der Induktion auf (n+1) erweitert, den Ausdruck dann soweit aufgelöst, dass wir an einer Stelle die Induktionsvoraussetzung anwenden konnten und haben dann den resultierenden Ausdruck soweit umgeformt (abgeschätzt), bis auch der zweite Form in der (n+1)-Form vorlag.
greetz
AT-Colt
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