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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 07.11.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_n=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeige: [mm] a_n \le [/mm] 1+ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} \forall n\in \IN [/mm] |
hallo!
1+ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] kann ich ja schreiben als: 1+ [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2*1}+\bruch{1}{3*2*1}+.....+\bruch{1}{n!} [/mm] und ich dachte so in die richtung, dass ich da ja etwas "herausziehen" kann wie [mm] (1+\bruch{1}{n})^n, [/mm] um dann so eine abschätzung treffen zu können...geht das? und wie genau?.....ich kam nur auf [mm] 1+\bruch{1}{n!}+\summe_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k!} [/mm] aber hilft mir das jetzt wirklich weiter?
danke für weitere anregungen...
tschüss
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Vielleicht hilft Dir ja ein gliedweiser Vergleich?
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] hat (n+1) Glieder.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] hat zwar nur n Glieder, aber da wird ja auch noch eine 1 addiert...
Wenn Du jetzt noch mit Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] und ihrer Berechnung vertraut bist, kann eigentlich nicht mehr viel schiefgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Sa 08.11.2008 | | Autor: | gigi |
hallo,
nun ich weiß nicht genau, was du meinst...ich habe mal den binomischen satz und anschließend die definition des binomialkoeff. auf die linke seite angewandt und erhalte somit:
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!}1^{n-k} \bruch{1}{n^k}
[/mm]
damit ist die struktur der rechten seite schon mal ähnlicher, jedoch steht nach dem summenzeichen noch immer "zuviel".....was kann ich tun? oder war der ansatz völlig falsch?
mfg und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Du musst nun abschätzen. Schließlich steht in der zu beweisenden Behauptung ein " [mm] $\le$ [/mm] " .
Betrachten wir mal, was da noch zuviel ist:
[mm] $$\bruch{n!}{(n-k)!*n^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \overbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{\underbrace{1*2*3*...*(n-k)}_{= \ n-k \ \text{Faktoren}} \ * \ \underbrace{n*n*n*...*n}_{= \ k \ \text{Faktoren}}}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \overbrace{(n-k+1)*(n-k+2)*...*(n-1)*n}^{= \ k \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n}_{= \ k \ \text{Faktoren}}}$$
[/mm]
Und ist dieser Bruch nun größer oder kleiner als 1 ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Sa 08.11.2008 | | Autor: | gigi |
ich verstehe ehrlich gesagt deinen letzten schritt nicht ganz- wie formst du das zu k faktoren um??
nun, sicher ist der bruch größer gleich 1, nur warum....
gruß und dank
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Loddars letzter Schritt heißt "Kürzen" 
Die Faktoren 1,2,3...,n-k-1,n-k kommen im Zähler und im Nenner vor und können daher gekürzt werden. Übrig bleiben die k angegebenen Faktoren von n-k+1 bis n im Zähler und im Nenner [mm] n^k.
[/mm]
Das könntest Du auch als Produkt von k Brüchen schreiben:
[mm] \bruch{n-k+1}{n}*\bruch{n-k+2}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}
[/mm]
Der letzte Bruch ist ja offensichtlich =1, - und die anderen?
Nicht raten, begründen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 08.11.2008 | | Autor: | gigi |
ja is klar, jetzt sehe ich das mit dem kürzen auch!
da k [mm] \ge [/mm] 1, ist der zähler der einzelnen faktoren immer kleiner als der nenner n und damit jeder einzelne faktor [mm] \le [/mm] 1 und somit auch der ganze ausdruck [mm] \le [/mm] 1. hieraus folgt nun aber auch die richtigkeit der behauptung. richtig?
gut, dann habe ich ja alle bausteine für meinen beweis zusammen, vielen dank an alle!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
> und somit auch der ganze ausdruck [mm]\le[/mm] 1. hieraus
> folgt nun aber auch die richtigkeit der behauptung. richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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