beweis unterraum lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]\Phi[/mm]:X-->Y eine lineare Abbildung und U ein Unterraum von X
i) Beweisen Sie [mm]\Phi^-1[/mm]([mm]\Phi[/mm](U))=U + Ker([mm]\Phi [/mm])
ii) Gilt stets [mm]\Phi^-1[/mm]([mm]\Phi[/mm](U))=U [mm]\oplus[/mm] Ker([mm]\Phi [/mm])
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also zu i) hätte ich schonmal einen Ansatz, weiß halt nur nicht ob der richtig ist?
Ich habe nämlich folgendes in einem Buch gefunden:
Ist f:X-->Y linear, w elem. Bild(f) und u elem. f^-1(w), so ist f^-1 (w) u+ker(f)
So und nun der beweis dazu:
Ist v' elem. f^-1(w), so folgt
f(v')=f(u) --> f(v'-u)=0 --> v:= v'-u elem. Ker(f)
--> v'=u+v elem. u+Ker(f)
Ist umgekehrt v'=u+v elem. u+Ker(f), so ist f(v')=f(u)=w, also v' elem. f^-1(w)
ist der beweis so richtig und gilt er für i)?
bzw. wie zeige ich nun ii)?
wäre toll wenn wir jemand auf eine der beiden aufgaben ne antwort geben könnte
vielen dank schon im voraus vom
zimtschneckchen ;)
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> Es sei [mm]\Phi[/mm]:X-->Y eine lineare Abbildung und U ein
> Unterraum von X
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> i) Beweisen Sie [mm]\Phi^-1[/mm]([mm]\Phi[/mm](U))=U + Ker([mm]\Phi [/mm])
> ii) Gilt
> stets [mm]\Phi^-1[/mm]([mm]\Phi[/mm](U))=U [mm]\oplus[/mm] Ker([mm]\Phi [/mm])
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Also zu i) hätte ich schonmal einen Ansatz, weiß halt nur
> nicht ob der richtig ist?
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> Ich habe nämlich folgendes in einem Buch gefunden:
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> Ist f:X-->Y linear, w elem. Bild(f) und u elem. f^-1(w), so
> ist f^-1 (w) u+ker(f)
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> So und nun der beweis dazu:
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> Ist v' elem. f^-1(w), so folgt
> f(v')=f(u) --> f(v'-u)=0 --> v:= v'-u elem. Ker(f)
>
> --> v'=u+v elem. u+Ker(f)
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> Ist umgekehrt v'=u+v elem. u+Ker(f), so ist f(v')=f(u)=w,
> also v' elem. f^-1(w)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte die Eingabehilfen zur Formeleingabe, welche Du unterhalb des Eingabefensters findest.
In ordentlicher Darstellung sind die Texte entschieden besser lesbar, und sie werden eher gelesen, was ja in Deinem Interesse ist.
>
> ist der beweis so richtig und gilt er für i)?
Hast Du ihn verstanden? Jedem Schritt folgen können?
Der Beweis ist richtig, und die Aussage ist durchaus sehr eng mit dem verwandt, was Du zeigen sollst, so daß Du einiges wirst verwenden können.
Zu zeigen hast Du zweierlei
A: [mm] \phi^{-1}(\phi(U))\subseteq U+Kern\phi
[/mm]
B: [mm] U+\Kern\phi\subseteq \phi^{-1}(\phi(U)).
[/mm]
Beweis:
zu A:
Sei [mm] x\in \phi^{-1}(\Phi(U))
[/mm]
==>
[mm] \phi(x)\in \Phi(U)
[/mm]
==>
es gibt ein [mm] U\in [/mm] U mit ... usw.
zu B:
sei [mm] x\in [/mm] U+Kern [mm] \phi.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] u\in [/mm] U und ein [mm] v\in kern\phi [/mm] mit x=u+v.
Es [mm] \phi(x)= [/mm] ... usw.
>
> bzw. wie zeige ich nun ii)?
Was hast Du Dir denn zu ii) überlegt?
Meinst Du, daß es gilt oder daß es nicht gilt?
Gruß v. Angela
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> wäre toll wenn wir jemand auf eine der beiden aufgaben ne
> antwort geben könnte
>
> vielen dank schon im voraus vom
> zimtschneckchen ;)
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hallo angela,
danke für deine antwort zu aufgabe i), hat mir voll weitergeholfen :)
zu aufgabe ii) habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \oplus [/mm] ist ja die direkte Summe und die ist ja ja für zwei Untervektorräume in einem vektorraum V wie folgt definiert:
V= [mm] W\oplusU, [/mm] wenn V=W+U und [mm] W\capU={0}
[/mm]
Für unsere Aufgabe würde das ja heißen:
U+Ker(phi) und [mm] U\capKer(phi)={0}.
[/mm]
erstes haben wir ja schon in i) gezeigt
jetzt müssen wir ja noch teil 2 zeigen. kann man das mittels inklusion machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 02.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm doch mal für U den ganzen Raum X.
Was stellst Du fest ?
FRED
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also wenn ich für U dann den gesamten raum X nehme,dann erhalte ich ja X = X [mm] \oplus [/mm] Ker(phi)
aber was soll mir das bringen?
lg grüße
zimtschnecke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also wenn ich für U dann den gesamten raum X nehme,dann
> erhalte ich ja [mm]X = X \oplus \ker(\Phi)[/mm]
> aber was soll mir das bringen?
Naja, die Frage war doch: gilt stets [mm] $\Phi^{-1}(\Phi(U)) [/mm] = U [mm] \oplus \ker(\Phi)$ [/mm] ? "Stets" heisst doch, dass es für beliebige [mm] $\Phi$ [/mm] und $U$ gelten soll, zum Beispiel für $U=X$.
Andererseits hast du für $U=X$ die obige Gleichung, die für beliebige Abbildungen [mm] $\Phi$ [/mm] gelten müsste.
Was schließt du daraus?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 So 03.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> also wenn ich für U dann den gesamten raum X nehme,dann
> erhalte ich ja
> X = X [mm]\oplus[/mm] Ker(phi)
> aber was soll mir das bringen?
Wenn Ker(phi) [mm] \not= \{0\}, [/mm] ist die Summe oben rechts im Leben nicht direkt !
FRED
> lg grüße
> zimtschnecke
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mmh...
ok soweit habe ich das jetzt verstanden.
aber wie kann ich denn nun zeigen, dass die aussage nicht stets gilt, wenn ker(phi) [mm] \not= [/mm] 0 wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn [mm] Ker(\phi) \not= [/mm] {0} und U = X, so ist
[mm] Ker(\phi) \cap [/mm] U = [mm] Ker(\phi) \not= [/mm] {0}
also ist die Summe von U und [mm] Ker(\phi) [/mm] nicht direkt !
FRED
P.S. Ich habe den Eindruck, dass Dir der Begriff "direkte Summe" nicht klar ist.
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