beweis von Bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 13.06.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
sit g [mm] :\IR\mapsto\IR\ge [/mm] 0 eine bijektive Funktion. Dann ist auch folgendes eine bijektive Funktion:
f: [mm] \IR\mapsto\IR\ge [/mm] 0 [mm] ,x\mapsto \wurzel{\bruch{g(x)}{2}} [/mm] |
Moin Moin
kann jemanden mir bei diesem Aufgabe helfen .ich komme nicht weiter
Meine Lösung
beweis :wir zeigen zuerst die Injektivität .Seien dazu x,x' [mm] \in\IR\ge [/mm] 0 so,dass x [mm] \not= [/mm] x'.Da g injektiv ist,folgt [mm] g(x)\not= [/mm] g(x').da [mm] \wurzel{x} [/mm] injektiv ist ,folgt [mm] \wurzel{g(\x)}\not=\wurzel{g(\x')}. [/mm] da [mm] \bruch{1}{2}>0 [/mm] ist
[mm] \wurzel{\bruch{g(x)}{2}}\not=\wurzel{\bruch{g(x')}{2}}.ES [/mm] folgt [mm] f(x)\not=f(x') [/mm] nach definition von f .
ist so korrekt jetzt wie beweise ich die Surjektivität .
Danke im voraus
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Hallo,
offensichtlich darfst du ja die entsprechenden Eigenschaften der an der Verkettung beteiligten Funktionen, insbesondere der Wurzelfunktion und der linearen Funktion, verwenden.
Dann sehe ich nichts, was an deinem Beweis der Injektivität falsch sein sollte. Frage: weshalb machst du das bei der Surjektivität nicht genau so?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 13.06.2012 | | Autor: | gene |
hallo Diophant
sei y [mm] \in \IR>0 [/mm] .Dann ist y':=y >=0,also können wir die Umkehrfunktion ,also die Quadratsfunktion auf y' anwenden und erhalten wieder ein Element y''= 2y'^{2}.Da g surjektiv ist ,finde x [mm] \in\IR>0,so [/mm] dass g(x)=y''.es folgt
f(x)= [mm] \wurzel{\bruch{g(x)}{2}}=\wurzel{\bruch{y''}{2}}=\wurzel{\bruch{2y'^{2}}{2}}=y'=y.
[/mm]
ist so richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo Diophant
> sei y [mm]\in \IR>0[/mm]
nein. Dann würdest Du den Fall [mm] $y=0\,$ [/mm] gar nicht mitbehandeln und müßtest den später nochmal separat behandeln. Warum schreibst Du nicht einfach: Sei $y [mm] \in \IR_{\ge 0}\,.$ [/mm]
> .Dann ist y':=y >=0,
Wozu nun [mm] $y'\,$? [/mm] Ich meine, Du sagst ja auch nicht: Sei [mm] $x:=1\,,$ [/mm] dann ist [mm] $2x=2\,.$ [/mm] Das kannst Du machen und stimmt: Aber wozu?
> also können wir die
> Umkehrfunktion ,also die Quadratsfunktion auf y' anwenden
Wenn das auf [mm] $y\,'$ [/mm] geht, dann auch direkt auf [mm] $y\,.$ [/mm] Seit wann muss man allerdings, wenn man die Quadratfunktion anwenden will, haben, dass das Argument, auf das man sie anwendet, [mm] $\ge [/mm] 0$ sein soll? Du kannst JEDE reelle Zahl quadrieren: Das Ergebnis nach der Quadratur wird nur nicht [mm] $<0\,$ [/mm] sein können!
> und erhalten wieder ein Element y''= 2y'^{2}.
Besser: Wir definieren einfach direkt [mm] $y'':=2y^2\,$ [/mm] (ich schreibe nur [mm] $y''\,,$ [/mm] weil Du [mm] $y\,'$ [/mm] schonmal als [mm] $y\,$ [/mm] definiert hast - Du kannst auch [mm] $\tilde{y}$ [/mm] schreiben!) und dann ist $y'' [mm] \ge 0\,,$ [/mm] weil man weiß, dass Zahlen aus [mm] $\IR$ [/mm] die Eigenschaft haben, dass deren Quadrate eh stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sind und eine Multiplikation mit $2 > [mm] 0\,$ [/mm] daran nichts zerstört. Das kannst Du aber sicher ganz leicht formal aufschreiben!
> Da g surjektiv
> ist ,finde x [mm]\in\IR>0,so[/mm]
Nein: Weil $y'' [mm] \ge [/mm] 0$ ist und weil [mm] $g\,$ [/mm] insbesondere surjektiv ist (und hier siehst Du, dass $y'' [mm] \ge [/mm] 0$ benutzt wird, denn [mm] $g\,$ [/mm] hat nach Voraussetzung die ZIELMENGE [mm] $\IR_{\ge 0}$!), [/mm] existiert ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] (wenn man übertreiben will, kann man sogar dazuschreiben, dass ein eindeutiges $x [mm] \in \IR$ [/mm] so wie folgt existiert - schließlich war [mm] $g\,$ [/mm] ja bijektiv! Und beachte: [mm] $\IR$ [/mm] war der DEFINITIONSBEREICH von [mm] $g\,$!) [/mm] so, dass
> dass g(x)=y''.es folgt
> f(x)=
> [mm]\wurzel{\bruch{g(x)}{2}}=\wurzel{\bruch{y''}{2}}[/mm]
Auch hier siehst Du, dass $y'' [mm] \ge [/mm] 0$ benutzt wird, denn Du wendest ja die Wurzel auf [mm] $y''/2\,$ [/mm] an! Obige Gleichheit geht dann weiter:
[mm] $$=\sqrt{\frac{2y^2}{2}}=\sqrt{y^2}=|y|$$
[/mm]
> [mm]=y.[/mm]
>
> ist so richtig
Ja. Aber nur mal so als Vorschlag: Ich hätte folgendes gemacht, weil man da einfach besser versteht, was man da wirklich macht:
1.) Zeige einfach (und das ist viel übersichtlicher, und es quasi fast elementare Theorieanwendung):
Sind $h: M [mm] \to [/mm] N$ und $j: N [mm] \to [/mm] P$ beides bijektive Funktionen, dann ist auch die Funktion
$$j [mm] \circ h\stackrel{\text{def}}{=}k [/mm] :M [mm] \to [/mm] P$$
bijektiv.
(Das kannst Du genauso machen, wie Du hier vorgegangen bist: Du zeigst einerseits die Injektivität, andererseits die Surjektivität von [mm] $k\,.$ [/mm] Man kann aber auch alles in einem Wischwasch machen, wenn man bedenkt, dass eine Funktion $h: M [mm] \to [/mm] N$ genau dann bijektiv ist, wenn es zu jedem $n [mm] \in [/mm] N$ GENAU EIN $m [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $h(m)=n\,$ [/mm] gibt!)
2.) Zeige: Die Funktion $f: [mm] \IR_{\ge 0} \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\sqrt{x/2}$ [/mm] ist bijektiv.
3.) Folgere aus 1.) und 2.) die Behauptung! (Tipp: Betrachte $f [mm] \circ [/mm] g: [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}\,.$)
[/mm]
Das ganze beinhaltet dann im Wesentlichen genau die gleichen Argumente wie bei Deinem Beweis (in der korrigierten Fassung), allerdings kommt die Struktur, warum da was nun gilt, meiner Meinung nach viel klarer zum Vorschein!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mi 13.06.2012 | | Autor: | gene |
Danke Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Do 14.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> 1.) Zeige einfach (und das ist viel übersichtlicher, und
> es quasi fast elementare Theorieanwendung):
> Sind [mm]h: M \to N[/mm] und [mm]j: N \to P[/mm] beides bijektive
> Funktionen, dann ist auch die Funktion
> [mm]j \circ h\stackrel{\text{def}}{=}k :M \to P[/mm]
> bijektiv.
Etwas einfacher wird es, wenn man diesen Satz gleich zweimal anwendet: Für
$h: [mm] \IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto [/mm] x/2$
und
[mm] $w:\IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto \sqrt [/mm] x$
ist
[mm] $f=w\circ h\circ [/mm] g$ als Verkettung der bijektiven Funktionen $g$, $h$ und $w$ bijektiv.
Grüße,
Wolfgang.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 14.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > 1.) Zeige einfach (und das ist viel übersichtlicher, und
> > es quasi fast elementare Theorieanwendung):
> > Sind [mm]h: M \to N[/mm] und [mm]j: N \to P[/mm] beides bijektive
> > Funktionen, dann ist auch die Funktion
> > [mm]j \circ h\stackrel{\text{def}}{=}k :M \to P[/mm]
> >
> bijektiv.
>
> Etwas einfacher wird es, wenn man diesen Satz gleich
> zweimal anwendet: Für
>
> [mm]h: \IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto x/2[/mm]
>
> und
>
> [mm]w:\IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto \sqrt x[/mm]
>
> ist
>
> [mm]f=w\circ h\circ g[/mm] als Verkettung der bijektiven Funktionen
> [mm]g[/mm], [mm]h[/mm] und [mm]w[/mm] bijektiv.
sagen wir lieber: Übersichtlicher. Denn hier würde ich wenigstens erwarten, dass man die Bijektivität von [mm] $w\,$ [/mm] (kurz) nachrechnet. (Womit dann keine wesentliche Arbeitsersparnis gewonnen wäre - denn ob ich nun die Bijektivität von [mm] $w\,$ [/mm] oder die von $w [mm] \circ [/mm] h$ nachrechne: Da tut sich nicht viel.).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Do 14.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> > > 1.) Zeige einfach (und das ist viel übersichtlicher, und
> > > es quasi fast elementare Theorieanwendung):
> > > Sind [mm]h: M \to N[/mm] und [mm]j: N \to P[/mm] beides bijektive
> > > Funktionen, dann ist auch die Funktion
> > > [mm]j \circ h\stackrel{\text{def}}{=}k :M \to P[/mm]
> > >
> > bijektiv.
> >
> > Etwas einfacher wird es, wenn man diesen Satz gleich
> > zweimal anwendet: Für
> >
> > [mm]h: \IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto x/2[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]w:\IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto \sqrt x[/mm]
> >
> > ist
> >
> > [mm]f=w\circ h\circ g[/mm] als Verkettung der bijektiven Funktionen
> > [mm]g[/mm], [mm]h[/mm] und [mm]w[/mm] bijektiv.
>
> sagen wir lieber: Übersichtlicher. Denn hier würde ich
> wenigstens erwarten, dass man die Bijektivität von [mm]w\,[/mm]
> (kurz) nachrechnet. (Womit dann keine wesentliche
> Arbeitsersparnis gewonnen wäre - denn ob ich nun die
> Bijektivität von [mm]w\,[/mm] oder die von [mm]w \circ h[/mm] nachrechne: Da
> tut sich nicht viel.).
Interessant! Warum von $w$ und nicht von $h$? Die Wurzelfunktion wird in Analysisvorlesungen gerne als Umkehrfunktion der Quadratfunktion eingeführt und ist damit als bijektiv allgemein bekannt.
Daß die Multiplikation mit $1/2$ bzw. mit jeder Zahl ungleich $0$ bijektiv ist, wird seltener gezeigt, das ist "trivial".
Was hier also zu begründen ist und was nicht, hängt von der Vorlesung, dem Stil und dem Zeigeist ab.
So wird bei Rudin (1955) die Bijektivität von $h$ aus den Körperaxiomen abgeleitet, bei Königsberger (1990) werden die Körperaxiome feierlich vorgestellt, aber Folgerungen, wie die Bijektivität von $h$, stillschweigend übergangen.
In meinem ersten Semester wurde übrigens auch Dein Satz bewiesen.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > > > 1.) Zeige einfach (und das ist viel übersichtlicher, und
> > > > es quasi fast elementare Theorieanwendung):
> > > > Sind [mm]h: M \to N[/mm] und [mm]j: N \to P[/mm] beides bijektive
> > > > Funktionen, dann ist auch die Funktion
> > > > [mm]j \circ h\stackrel{\text{def}}{=}k :M \to P[/mm]
> > >
> >
> > > bijektiv.
> > >
> > > Etwas einfacher wird es, wenn man diesen Satz gleich
> > > zweimal anwendet: Für
> > >
> > > [mm]h: \IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto x/2[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]w:\IR_{\ge0} \to \IR_{\ge 0},\; x\mapsto \sqrt x[/mm]
> > >
> > > ist
> > >
> > > [mm]f=w\circ h\circ g[/mm] als Verkettung der bijektiven Funktionen
> > > [mm]g[/mm], [mm]h[/mm] und [mm]w[/mm] bijektiv.
> >
> > sagen wir lieber: Übersichtlicher. Denn hier würde ich
> > wenigstens erwarten, dass man die Bijektivität von [mm]w\,[/mm]
> > (kurz) nachrechnet. (Womit dann keine wesentliche
> > Arbeitsersparnis gewonnen wäre - denn ob ich nun die
> > Bijektivität von [mm]w\,[/mm] oder die von [mm]w \circ h[/mm] nachrechne: Da
> > tut sich nicht viel.).
>
> Interessant! Warum von [mm]w[/mm] und nicht von [mm]h[/mm]? Die
> Wurzelfunktion wird in Analysisvorlesungen gerne als
> Umkehrfunktion der Quadratfunktion eingeführt und ist
> damit als bijektiv allgemein bekannt.
wenn es so eingeführt wurde (wobei man da auch Existenzen begründen muss), braucht man natürlich nichts mehr nachzurechnen.
Warum ich das erwarten würde? Ganz einfach: "Nichtlineare Funktionen" sind irgendwie "schwerer" als "lineare Funktionen". Daher erwarte ICH das!
(Außerdem zeigt mir die Erfahrung, dass den meisten Menschen klarer ist, dass man, wenn man etwas halbiert hat und es danach verdoppelt (und umgekehrt), dass dann wieder das gleiche rauskommt. Beim "Wurzelziehen mit anschließender Quadrierung" (oder umgekehrt) ist vielen das nicht klar. Vor allen Dingen sind viele verwirrt, wenn man erst quadriert und dann Wurzel zieht: Es ist nämlich [mm] $\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] für $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] und das führt oft zu Fehlinterpretationen und falschen Aussagen wie [mm] "$\sqrt{4}$ [/mm] ist ja [mm] $+2\,$ [/mm] oder [mm] $-2\,$..." [/mm] - oder "Wurzelziehen/Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung." Letzteres etwa hängt nämlich von den Voraussetzungen ab, der vorletzte Satz mit [mm] $\sqrt{4}$ [/mm] ist einfach Unsinn, und selbst Studenten sind dann verwirrt, obwohl sie wissen, dass [mm] $\sqrt{4}$ [/mm] diejenige nichtnegative reelle Zahl ist, deren Quadrat [mm] $4\,$ [/mm] ergibt.)
Und wenn Du mal nachguckst: Bei "Wurzeln" braucht man in der Tat doch irgendwie "mehr". (Wenn Du mit der Umkehrfunktion von [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty), [/mm] x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] argumentieren willst, brauchst Du erstmal die Existenz einer Umkehrfunktion. Ansonsten findet man auch andere Existenz und Eindeutigkeitsbeweise der Wurzel etwa mittels der Vollständigkeit von [mm] $\IR\,,$ [/mm] etwa über Intervallschachtelungen... wie auch immer!)
> Daß die Multiplikation mit [mm]1/2[/mm] bzw. mit jeder Zahl
> ungleich [mm]0[/mm] bijektiv ist, wird seltener gezeigt, das ist
> "trivial".
Nein - aber das ist mehr oder weniger ein Einzeiler. Da braucht man keine "komplizierteren" Argumente.
> Was hier also zu begründen ist und was nicht, hängt von
> der Vorlesung, dem Stil und dem Zeigeist ab.
Wir schweifen ein wenig ab. Ich habe ja geschrieben, was ich erwarten würde - und das einzige, was ich behaupte, ist, dass die Bijektivität von [mm] $w\,$ [/mm] "ein bisschen schwerer nachzuweisen ist" als die von [mm] $h\,.$ [/mm] Wobei Du dann natürlich sagen kannst "Für DICH vielleicht 'schwerer' - was bedeutet schwerer denn allgemein?"
> So wird bei Rudin (1955) die Bijektivität von [mm]h[/mm] aus den
> Körperaxiomen abgeleitet, bei Königsberger (1990) werden
> die Körperaxiome feierlich vorgestellt, aber Folgerungen,
> wie die Bijektivität von [mm]h[/mm], stillschweigend übergangen.
Vielleicht findet man irgendwo eine passende Übungsaufgabe?
> In meinem ersten Semester wurde übrigens auch Dein Satz
> bewiesen.
Natürlich - der wird eigentlich in so gut wie jeder Analysis I Vorlesung behandelt - bei uns war es eine der ersten Übungsaufgaben - genauer hieß die in etwa:
Man zeige, dass Verknüpfungen injektiver bzw. surjektiv Funktionen wieder injektiv bzw. surjektiv sind. Folgern Sie damit, dass eine entsprechende Aussage auch für bijektive Funktionen gilt.
Bzw. in LA wurde einfach nur gesagt, dass wir das mit den bijektiven Funktionen machen sollten. (Da gab' es die Charakterisierung, dass eine Funktion genau dann bijektiv ist, wenn jedes Element der Zielmenge ein und nur ein Element im Definitionsbereich so hat, dass die Anwendung der Funktion auf dieses das Element der Zielmenge liefert.)
Es gibt auch andere tolle Charakerisierungen der Injektivität mittels Urbildmengen [mm] $f^{-1}(\{y\})$: [/mm] Entweder leer oder einelementig etc. pp..
Aber wenn dieser Satz hier nicht behandelt worden ist und daher noch nicht angewendet werden kann, wollte ich halt drauf hinweisen, dass "alles wesentliche für die hier gestellte Augabe" in dessen Beweis ersichtlich wird.
Gruß,
Marcel
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