beweis von direkter summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | sei V ein [mm] \IK [/mm] -VR, f [mm] \in [/mm] Hom(V,V) => ker f [mm] \oplus [/mm] Bild (f) = V |
die behauptung ist falsch, aber warum?
ich weiß:
Die Menge aller linearen Funktionen von V nach W wird mit Hom (V;W) (Homomorphismus) bezeichnet.
und dafüt muss auch gelten:
V [mm] \subseteq [/mm] ker f + bild(f)
ker f [mm] \cap [/mm] bild(f) = {0}
weiß aber nicht, warum die hier nicht gelten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> sei V ein [mm]\IK[/mm] -VR, f [mm]\in[/mm] Hom(V,V) => ker f [mm]\oplus[/mm] Bild (f)
> = V
> die behauptung ist falsch, aber warum?
> ich weiß:
> Die Menge aller linearen Funktionen von V nach W wird mit
> Hom (V;W) (Homomorphismus) bezeichnet.
> und dafüt muss auch gelten:
>
> V [mm]\subseteq[/mm] ker f + bild(f)
> ker f [mm]\cap[/mm] bild(f) = {0}
>
> weiß aber nicht, warum die hier nicht gelten
Gib doch einfach mal ein konkretes Beispiel an. Und zwar mit [mm] $\dim [/mm] V = 2$, [mm] $\dim \ker [/mm] f = [mm] \dim [/mm] Bild(f) = 1$. (Das ist sozusagen das kleinstmoeglichste Setting, in dem das ganze schiefgeht.)
In diesem Fall wird $f$ durch eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix beschrieben. Gib eine Matrix an, bei der der Kern gleich dem Bild ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Moin!
>
> > sei V ein [mm]\IK[/mm] -VR, f [mm]\in[/mm] Hom(V,V) => ker f [mm]\oplus[/mm] Bild (f)
> > = V
> > die behauptung ist falsch, aber warum?
> > ich weiß:
> > Die Menge aller linearen Funktionen von V nach W wird
> mit
> > Hom (V;W) (Homomorphismus) bezeichnet.
> > und dafüt muss auch gelten:
> >
> > V [mm]\subseteq[/mm] ker f + bild(f)
> > ker f [mm]\cap[/mm] bild(f) = {0}
> >
> > weiß aber nicht, warum die hier nicht gelten
>
> Gib doch einfach mal ein konkretes Beispiel an. Und zwar
> mit [mm]\dim V = 2[/mm], [mm]\dim \ker f = \dim Bild(f) = 1[/mm]. (Das ist
> sozusagen das kleinstmoeglichste Setting, in dem das ganze
> schiefgeht.)
>
> In diesem Fall wird [mm]f[/mm] durch eine [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix
> beschrieben. Gib eine Matrix an, bei der der Kern gleich
> dem Bild ist.
>
> LG Felix
>
hallo felix, wär [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] so eine? oder [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > sei V ein [mm]\IK[/mm] -VR, f [mm]\in[/mm] Hom(V,V) => ker f [mm]\oplus[/mm] Bild (f)
> > > = V
> > > die behauptung ist falsch, aber warum?
> > > ich weiß:
> > > Die Menge aller linearen Funktionen von V nach W
> wird
> > mit
> > > Hom (V;W) (Homomorphismus) bezeichnet.
> > > und dafüt muss auch gelten:
> > >
> > > V [mm]\subseteq[/mm] ker f + bild(f)
> > > ker f [mm]\cap[/mm] bild(f) = {0}
> > >
> > > weiß aber nicht, warum die hier nicht gelten
> >
> > Gib doch einfach mal ein konkretes Beispiel an. Und zwar
> > mit [mm]\dim V = 2[/mm], [mm]\dim \ker f = \dim Bild(f) = 1[/mm]. (Das ist
> > sozusagen das kleinstmoeglichste Setting, in dem das ganze
> > schiefgeht.)
> >
> > In diesem Fall wird [mm]f[/mm] durch eine [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix
> > beschrieben. Gib eine Matrix an, bei der der Kern gleich
> > dem Bild ist.
> >
> > LG Felix
> >
>
> hallo felix, wär [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] so eine? oder
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }?[/mm]
Das kannst du doch ganz einfach ueberpruefen. Schreibe das Bild hin (das geht hier ja sehr einfach) und pruefe, ob ein nicht-trivialer Vektor daraus im Kern liegt.
Ist das hier der Fall?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Moin!
>
> > > > sei V ein [mm]\IK[/mm] -VR, f [mm]\in[/mm] Hom(V,V) => ker f [mm]\oplus[/mm] Bild (f)
> > > > = V
> > > > die behauptung ist falsch, aber warum?
> > > > ich weiß:
> > > > Die Menge aller linearen Funktionen von V nach W
> > wird
> > > mit
> > > > Hom (V;W) (Homomorphismus) bezeichnet.
> > > > und dafüt muss auch gelten:
> > > >
> > > > V [mm]\subseteq[/mm] ker f + bild(f)
> > > > ker f [mm]\cap[/mm] bild(f) = {0}
> > > >
> > > > weiß aber nicht, warum die hier nicht gelten
> > >
> > > Gib doch einfach mal ein konkretes Beispiel an. Und zwar
> > > mit [mm]\dim V = 2[/mm], [mm]\dim \ker f = \dim Bild(f) = 1[/mm]. (Das ist
> > > sozusagen das kleinstmoeglichste Setting, in dem das ganze
> > > schiefgeht.)
> > >
> > > In diesem Fall wird [mm]f[/mm] durch eine [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix
> > > beschrieben. Gib eine Matrix an, bei der der Kern gleich
> > > dem Bild ist.
> > >
> > > LG Felix
> > >
> >
> > hallo felix, wär [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] so eine?
da hab ich 0=0 raus, also trivial? aber warum muss das ein nicht-trivialer vektor sein?
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }?[/mm]
> Das kannst du doch ganz einfach ueberpruefen. Schreibe das
> Bild hin (das geht hier ja sehr einfach) und pruefe, ob ein
> nicht-trivialer Vektor daraus im Kern liegt.
>
> Ist das hier der Fall?
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 01.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da Deine Antworten nicht direkt Felix Fragen zuzuordnen sind, behandel ich Deine Matrizen mal so:
Ich gehe mal davon aus, dass Du lineare Abbildungen [mm] $\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] betrachtest, wobei [mm] $\IR^2$ [/mm] als "gewöhnlicher [mm] $\IR$-Vektorraum" [/mm] anzusehen ist.
Die Abbildung $f: [mm] x=\vektor{x_1\\x_2} \mapsto \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] (als Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR^2$) [/mm] hat als Bild gerade den Linearen Span der Spaltenvektoren (die Menge der Linearkombinationen aller Spaltenvektoren der Matrix)
[mm] $$\text{linspan}(\vektor{1\\1},\vektor{1\\1})=\text{linspan}(\vektor{1\\1})=\{r*\vektor{1\\1}: r \in \IR\}\,,$$
[/mm]
also die Gerade im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Richtungsvektor [mm] $(1,1)^T\,,$ [/mm] die durch den Ursprung [mm] $(0,0)^T \in \IR^2$ [/mm] geht.
Der Kern von [mm] $f\,$ [/mm] ist aber gerade [mm] $\text{linspan}(\vektor{1\\-1})=\{s*\vektor{1\\-1}: s \in \IR\}$ [/mm] (Warum?). Also ist [mm] $f\,$ [/mm] "EIN SCHLECHTES GEGENBEISPIEL, DA ES GAR KEIN GEGENBEISPIEL IST". (Ist Dir klar, warum?)
Die andere Abbildung
$$g: x [mm] \mapsto \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }\vektor{x_1\\x_2}$$
[/mm]
hat als Kern offenbar [mm] $\text{linspan}(\vektor{0\\1})$ [/mm] (Warum?) und als Bild [mm] $\linspan(\vektor{1\\1})$ [/mm] (Warum?). Passt also leider auch nicht, um die Behauptung zu widerlegen.
Tipp:
Versuche mal, eine Matrix so anzugeben, dass das Bild der zugehörigen linearen Abbildung gerade der lineare Span von [mm] $\vektor{1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-1\\-1}$ [/mm] ist. Dann solltest Du beim Kern dieser linearen Abbildung sowas sehen wie
[mm] $$\{\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2: x_1=x_2\}=\ldots$$
[/mm]
P.S.:
Die Matrix kann z.B. so gewählt werden, dass sie genau zwei Einträge mit 1 und zwei Einträge mit [mm] $-1\,$ [/mm] hat.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
also ich habe jetzt [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
so habe ich x1= x2 raus
so ist mein [mm] ker={\vektor{1 \\ 1}}
[/mm]
wie mache ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> also ich habe jetzt [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> so habe ich x1= x2 raus
> so ist mein [mm]ker={\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
Bitte sei doch präzise. Der Kern ist ein Untervektorraum, also
[mm]ker=\{t*\vektor{1 \\ 1}: t \in \IR\}[/mm]
>
> wie mache ich weiter?
Der Bildraum muß eindimensional sein und den Vektor [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }*\vektor{1 \\ 0}[/mm] enthaltn, also sieht der Bildraum wie aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
> > also ich habe jetzt [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm]
> >
> > so habe ich x1= x2 raus
> > so ist mein [mm]ker={\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
>
> Bitte sei doch präzise. Der Kern ist ein Untervektorraum,
> also
>
> [mm]ker=\{t*\vektor{1 \\ 1}: t \in \IR\}[/mm]
> >
> > wie mache ich weiter?
>
> Der Bildraum muß eindimensional sein und den Vektor [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }*\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> enthaltn, also sieht der Bildraum wie aus ?
Bild={ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] } ? so habe ich kern= bild
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > also ich habe jetzt [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm]
> > >
> > > so habe ich x1= x2 raus
> > > so ist mein [mm]ker={\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
> >
> > Bitte sei doch präzise. Der Kern ist ein Untervektorraum,
> > also
> >
> > [mm]ker=\{t*\vektor{1 \\ 1}: t \in \IR\}[/mm]
> > >
> > > wie mache ich weiter?
> >
> > Der Bildraum muß eindimensional sein und den Vektor [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }*\vektor{1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > enthaltn, also sieht der Bildraum wie aus ?
> Bild={ [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ?
Mann/Frau bist Du immer so schlampig ? Wie siehts denn in Deinem Haushalt aus ?
Wenn Du Dir nicht etwas mehr Genauigkeit angewöhnst, wirds nix mit Statistik
Bild= [mm] \{ t*\vektor{1 \\ 1}: t \in \IR \}
[/mm]
> so habe ich kern= bild
Ja
FRED
>
> > FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > also ich habe jetzt [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm]
> > >
> > > so habe ich x1= x2 raus
> > > so ist mein [mm]ker={\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
> >
> > Bitte sei doch präzise. Der Kern ist ein Untervektorraum,
> > also
> >
> > [mm]ker=\{t*\vektor{1 \\ 1}: t \in \IR\}[/mm]
> > >
> > > wie mache ich weiter?
> >
> > Der Bildraum muß eindimensional sein und den Vektor [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }*\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > enthaltn, also sieht der Bildraum wie aus ?
> Bild= [mm]\{\vektor{1 \\ 1}\}[/mm]
> ? so habe ich kern= bild
ich muss Fred zustimmen: Deine Notation ist nicht nur schlampig, sondern schlichtweg falsch.
Wenn Du
[mm] $$\{\vektor{1\\1}\}$$
[/mm]
schreibst, so ist das eine Menge, die aus genau einem Element, nämlich dem Vektor [mm] $\vektor{1\\1}$ [/mm] besteht. Hingegen ist
[mm] $$\text{linspan}\{\vektor{1\\1}\}$$
[/mm]
ein viel größere Menge, diese ist nämlich
[mm] $$=\{r*\vektor{1\\1}=\vektor{r\\r}: r \in \IR\}=\bigcup_{r \in \IR}\{r*\vektor{1\\1}=\vektor{r\\r}\}\,,$$
[/mm]
welche gleichmächtig zu [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Man schreibt manchmal auch etwa [mm] <$\vektor{1\\1}$> [/mm] anstatt [mm] $\text{linspan}\{\vektor{1\\1}\}\,,$ [/mm] aber auch da solltest Du Dir halt klarmachen, dass das (je nach Körper) ein riesiger Unterschied zu der einelementigen Menge [mm] $\{\vektor{1\\1}\}$ [/mm] ist.
Bitte:
Schau' Dir dringend nochmal an, wie man einen Unterraum (eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper [mm] $K\,$) [/mm] mithilfe von Linearkombinationen darstellen kann; insbesondere mach' Dir auch nochmal klar, was denn eigentlich Linearkombinationen sind. Denn aus Deinen Antworten kann man die Vermutung herleiten, dass Dir das nicht ganz klar bzw. bewußt ist. Vielleicht herrscht da einfach noch ein (kleines) Missverständnis Deinerseits, welches beseitigt werden sollte...
Gruß,
Marcel
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