beweise ANZabbildungen=n^m < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mo 31.10.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Seien A,B Mengen. A enthält m Elemente und B n Elemente. Beweisen Sie die Anzahl der Abbildungen A->B beträgt: [mm] m^n
[/mm]
Verwenden Sie keine vollst. Ind. |
Also ich steh total auf dem Schlauch :(
Ich hab versucht das über eine Tabelle zu Zeigen:
a1, ... an sind die [mm] \in [/mm] von A und
b1, ... bm sind die [mm] \in [/mm] von B.
jedes a hat m Abbildungszustände (a1->b1, a1->b2, ... , a1->bm)
Die Kombinationen:
zuerst mal die Abbildungen wo immer dasselbe Element zugeordnet wird:
a1->b1, a2->b1, ... an->b1
:
:
a1->bm, a2->bm, ... an->bm
das sind mal n*m Abbildungen
dann Variationen:
a1->b1 a2->b2, ... ,an->b2
a1->b2 a2->b3, ... ,an->b3
:
:
a1->b(m-1), a2->bm, ... , an->bm
oder auch:
a1->bm, a2->b(m-1), ... , an->b(m-1)
a1->b(m-1), a2->b(m-2), ... , an->b(m-2)
:
:
a1->b2, a2->b1, ... , an->b1
jetzt weis ich nicht weiter
es gibt bestimmt noch andere Kombinationsmöglichkeiten ... aber wie finde ich ein system heraus an dem ich ablesen kann das es insgesamt [mm] m^n [/mm] Abbildungen gibt???
bitte hilf mir mal wer den Knoten in meinen Kopf zu lösen ;)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo elmanuel,
> Seien A,B Mengen. A enthält m Elemente und B n Elemente.
> Beweisen Sie die Anzahl der Abbildungen A->B beträgt: [mm]m^n[/mm]
Hier liegt ein Fehler vor: Offensichtlich soll $A$ $n$ Elemente und $B$ $m$ Elemente enthalten.
> a1, ... an sind die [mm]\in[/mm] von A und
> b1, ... bm sind die [mm]\in[/mm] von B.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Kombinationen:
>
> zuerst mal die Abbildungen wo immer dasselbe Element
> zugeordnet wird:
>
> a1->b1, a2->b1, ... an->b1
> :
> :
> a1->bm, a2->bm, ... an->bm
>
> das sind mal n*m Abbildungen
Nein, das sind m Abbildungen.
> dann Variationen:
>
> ...
>
> es gibt bestimmt noch andere Kombinationsmöglichkeiten ...
> aber wie finde ich ein system heraus an dem ich ablesen
> kann das es insgesamt [mm]m^n[/mm] Abbildungen gibt???
Wenn du eine Abbildung [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ definieren möchtest:
Wie viele Möglichkeiten hast du, [mm] $f(a_1)$ [/mm] zu wählen?
Wie viele Möglichkeiten hast du, [mm] $f(a_2)$ [/mm] zu wählen?
...
Wie viele Möglichkeiten hast du, [mm] $f(a_n)$ [/mm] zu wählen?
Das gibt für $f$ insgesamt wieviele Möglichkeiten?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 31.10.2011 | | Autor: | elmanuel |
Danke!
also wenn's in B m zielelemente gibt, seh ich m Möglichkeiten für f(a1) + .... + m Möglichkeiten für f(an)= n*m Mögliche Abbildungen = falsch ???
wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> also wenn's in B m zielelemente gibt, seh ich m
> Möglichkeiten für f(a1) + .... + m Möglichkeiten für
> f(an)= n*m Mögliche Abbildungen = falsch ???
>
> wo liegt mein Fehler?
Völlig richtig ist, dass du für die Wahlen von [mm] $f(a_1)$ [/mm] bis [mm] $f(a_n)$ [/mm] jeweils $m$ Möglichkeiten hast.
Um eine Abbildung [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ zu wählen, kannst du alle diese Wahlen beliebig kombinieren. Dazu hast du [mm] $\underbrace{m\cdot\ldots\cdot m}_{n\text{ mal}}=m^n$ [/mm] Möglichkeiten.
Dazu ein weniger abstraktes Beispiel: Karl-Heinz hat 2 Hosen und 3 Pullover. Wie viele Möglichkeiten hat er, eine Kombination aus Hose und Pullover zum Anziehen auszuwählen? [mm] $2\cdot [/mm] 3$ Möglichkeiten, nicht etwa $2+3$.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich. Vielleicht hat noch jemand eine bessere Erklärung. Derjenige sei herzlich eingeladen, sie zu ergänzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke vielmals tobi!
jetzt hab ichs gecheckt...
also
Abbildungsmöglichkeiten :
f(a1)=b1, f(a1)=b2, ... , f(a1)=bm m Möglichkeiten
*
f(a2)=b1, f(a2)=b2, ... , f(a2)=bm m Möglichkeiten
*
:
:
*
f(an)=b1, f(an)=b2, ... , f(an)=bm m Möglichkeiten
also: m*m*...*m -> insgesamt n mal
also [mm] m^n
[/mm]
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