www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAbbildungen und Matrizenbijektive Abbildung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Abbildungen und Matrizen" - bijektive Abbildung
bijektive Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Abbildungen und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

bijektive Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mo 01.04.2013
Autor: wahid

Aufgabe
f: [mm] \IN [/mm] → [mm] (\IN [/mm] X [mm] \IN) [/mm] mit f(n) = (n, n+1)
Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv?

Hallo,

bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv ist.

Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen Zahlen (ohne die Null)

Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.

Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.

Ich würde mich über Tips freuen :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
bijektive Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mo 01.04.2013
Autor: fred97


> f: [mm]\IN[/mm] → [mm](\IN[/mm] X [mm]\IN)[/mm] mit f(n) = (n, n+1)
>  Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv?
>  Hallo,
>  
> bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu
> bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv
> ist.
>  
> Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen
> Zahlen (ohne die Null)
>  
> Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.


f ordnet der natürlichen Zahl n das Paar  (n, n+1) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] zu.

Beispiel: f(23)=(23,24)

FRED

>
> Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv
> ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als
> Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird
> (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.
>  
> Ich würde mich über Tips freuen :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
bijektive Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mo 01.04.2013
Autor: wahid

Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.

Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare [(1,2);(2,3);(3,4)...]
diese Zahlenpaare sind [mm] \in \IN [/mm] X [mm] \IN. [/mm]

Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege richtig :D


Bezug
                        
Bezug
bijektive Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mo 01.04.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.

Du darfst uns alle duzen - erfahrungsgemäß auch Fred. ;-)
  

> Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare
> [(1,2);(2,3);(3,4)...]
>  diese Zahlenpaare sind [mm]\in \IN[/mm] X [mm]\IN.[/mm]
>  
> Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege
> richtig :D

Nein, so "begründest"  Du doch nur [mm] $f(\IN) \subseteq \IN \times \IN\,$ [/mm] (und das noch nicht
mal wirklich sauber, aber es ist schon okay): Und das muss auch sein, "sonst
wäre [mm] $f\,$ [/mm] 'schlecht definiert'!"
Du hast weder die Injektivität begründet (obiges [mm] $f\,$ [/mm] IST injektiv) - noch
die Surjektivität widerlegt (obiges [mm] $f\,$ [/mm] IST NICHT surjektiv). Dazu kannst Du
meine andere Antwort durchlesen. Wir können aber auch hier erstmal
schrittweise das ganze angehen:
Man kann die Surjektivität Deiner Funktion $f [mm] \colon \IN \to \IN \times \IN$ [/mm] mit obiger
Überlegung schon angehen:

Vergleiche mal [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] mit [mm] $f(\IN)=\{(1,2);(2,3);(3,4);(4,5);...\}\,.$ [/mm]

Sind diese Mengen gleich? Wenn dem so wäre, was würde das für [mm] $f\,$ [/mm] bedeuten?
Da dem aber nicht so ist: Was bedeutet das nun?

P.S.: Dieser "Mengenvergleich" hilt nur bzgl. der Surjektivität - nicht bzgl.
Injektivität:
[mm] $g\colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann surjektiv, wenn [mm] $g(X)=Y\,$ [/mm] (und weil $g(X) [mm] \subseteq [/mm] Y$ immer gelten
muss, kann man dabei auch in äquivalenter Weise "..., wenn $Y [mm] \subseteq g(X)\,$" [/mm] schreiben).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
bijektive Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mo 01.04.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.
>  
> Du darfst uns alle duzen - erfahrungsgemäß auch Fred.



....... wie wahr .......

fred

> ;-)
>    
> > Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare
> > [(1,2);(2,3);(3,4)...]
>  >  diese Zahlenpaare sind [mm]\in \IN[/mm] X [mm]\IN.[/mm]
>  >  
> > Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege
> > richtig :D
>  
> Nein, so "begründest"  Du doch nur [mm]f(\IN) \subseteq \IN \times \IN\,[/mm]
> (und das noch nicht
> mal wirklich sauber, aber es ist schon okay): Und das muss
> auch sein, "sonst
> wäre [mm]f\,[/mm] 'schlecht definiert'!"
>  Du hast weder die Injektivität begründet (obiges [mm]f\,[/mm] IST
> injektiv) - noch
> die Surjektivität widerlegt (obiges [mm]f\,[/mm] IST NICHT
> surjektiv). Dazu kannst Du
> meine andere Antwort durchlesen. Wir können aber auch hier
> erstmal
> schrittweise das ganze angehen:
>  Man kann die Surjektivität Deiner Funktion [mm]f \colon \IN \to \IN \times \IN[/mm]
> mit obiger
>  Überlegung schon angehen:
>  
> Vergleiche mal [mm]\IN \times \IN[/mm] mit
> [mm]f(\IN)=\{(1,2);(2,3);(3,4);(4,5);...\}\,.[/mm]
>  
> Sind diese Mengen gleich? Wenn dem so wäre, was würde das
> für [mm]f\,[/mm] bedeuten?
>  Da dem aber nicht so ist: Was bedeutet das nun?
>  
> P.S.: Dieser "Mengenvergleich" hilt nur bzgl. der
> Surjektivität - nicht bzgl.
> Injektivität:
> [mm]g\colon X \to Y[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn [mm]g(X)=Y\,[/mm]
> (und weil [mm]g(X) \subseteq Y[/mm] immer gelten
> muss, kann man dabei auch in äquivalenter Weise "..., wenn
> [mm]Y \subseteq g(X)\,[/mm]" schreiben).
>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
        
Bezug
bijektive Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Mo 01.04.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> f: [mm]\IN[/mm] → [mm](\IN[/mm] X [mm]\IN)[/mm] mit f(n) = (n, n+1)
>  Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv?
>  Hallo,
>  
> bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu
> bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv
> ist.
>  
> Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen
> Zahlen (ohne die Null)
>  
> Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.
>
> Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv
> ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als
> Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird
> (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.
>  
> Ich würde mich über Tips freuen :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

zur Injkektivität: Zeige: Für alle $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f(m)=f(n)\,$ [/mm] folgt schon,
dass [mm] $m=n\,$ [/mm] sein muss.
(Das ist sehr leicht: Aus $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $f(m)=f(n)\,$ [/mm] folgt ja in [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] die Gleichheit
[mm] $$(m,m+1)=(n,n+1)\,.$$ [/mm]
Was liefert also der Komponentenvergleich?)

Zur Surjektivität: Es ist ja eigentlich klar, dass [mm] $f\,$ [/mm] nur solche Paare [mm] $(a,b\,)$ [/mm]
"erwischt", für die [mm] $b=a+1\,$ [/mm] gilt (neben $a [mm] \in \IN$). [/mm]

Eine Funktion $g [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann surjektiv, wenn es für alle $y [mm] \in [/mm] Y$
ein $x [mm] \in [/mm] X$ gibt, so dass [mm] $g(x)=y\,.$ [/mm] Das bedeutet auch:
Genau dann ist [mm] $g\,$ [/mm] NICHT surjektiv, wenn es ein [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ so, dass es kein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] g(x)=y_0\,$ [/mm] gibt.

Das bedeutet: Du kannst ein KONKRETES [mm] $y_0 \in \IN \times \IN$ [/mm] angeben, für
welches Du beweist, dass es kein $x [mm] \in \IN$ [/mm] geben kann mit [mm] $f(x)=y_0\,.$ [/mm]

(Wie beweist man sowas? Etwa: Man nimmt es, es gäbe doch ein [mm] $x_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=y_0$...) [/mm]

KONKRET heißt wirklich: [mm] $y_0=(m_0,n_0)\,$ [/mm] mit bestimmten Zahlen [mm] $m_0,n_0 \in \IN\,.$ [/mm]

Tipp: Nimm' etwa ein bestimmtes [mm] $m_0$ [/mm] und betrachte dann passend dazu [mm] $n_0:=m_0+2\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Abbildungen und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]