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Hallo,
ich habe wieder einmal keine Ahnung, wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss.
Also es handelt sich um die Aufgabe2 auf den Aufgabenblatt 4 mit den g( [mm] \phi [/mm] )= [mm] \phi [/mm] ° [mm] \pi.
[/mm]
http://theorie.informatik.uni-ulm.de/Personen/Thierauf/Lehre/MatheGrundlagen/Aufgaben/blatt4.pdf
Im Unterricht haben wir dazu einen Beweis aufgeschrieben:
h=g°f
h ist surjektiv : sei c [mm] \in [/mm] C beliebig
Finde a [mm] \in [/mm] A mit h(a)=c
Wähle [mm] b=g^{-1} [/mm] (c) (g ist surjektiv)
und [mm] a=f^{-1} [/mm] (b) (f ist surjektiv)
[mm] =F^{-1} [/mm] ( [mm] g^{-1} [/mm] (c)).
H ist injektiv:
Seien a1 [mm] \not=a2 \in [/mm] A, dann ist [mm] f(a1)\not=f(a2)
[/mm]
, da f injektiv f(a1)=b1 , f(a2)=b2
Dann ist auch g(b1) [mm] \not=g(b2) [/mm] da injektiv
Zusammen h(a1) [mm] \not=h(a2) [/mm] qed
Dieser Beweis ist auch verständlich, aber wie soll ich dass auf die Aufgabe beziehen, wo ich anstatt Funktioen [mm] \phi [/mm] und die konstante [mm] \pi [/mm] (da [mm] \pi [/mm] fester Wert ) habe.
Ich würde mich freuen ,wenn mir jemand helfen würde.
Gruß Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nightburner,
> Dieser Beweis ist auch verständlich, aber wie soll ich dass
> auf die Aufgabe beziehen, wo ich anstatt Funktioen [mm]\phi[/mm] und
> die konstante [mm]\pi[/mm] (da [mm]\pi[/mm] fester Wert ) habe.
[mm] $\pi$ [/mm] ist -- wie es ja auch auf dem Aufgabenblatt steht-- keine Konstante, sondern ein Element der Permutationengruppe [mm] S_n: $\pi\in S_n$.
[/mm]
Es ist aber --und da hast du Recht-- ein fest gewähltes/konstantes Element/Abbildung aus [mm] $S_n$
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße,
Marc
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das war ein guter Hinweis, aber ich weiss noch immer nicht wie ich an die Aufgabe rangehen muss.
kann ich den Beweis von der Vorlesung nehmen und statt f & g einfach phi und pi schreiben?
würde das gehen?
gruß peter
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Hallo Peter!
Nein, das geht leider nicht, weil zwei grundverschiedene Dinge bewiesen wurden.
In der Vorlesung waren $f$ und $g$ feste bijektive Abbildungen zwischen bestimmten Mengen und ihr habt bewiesen, dass die zusammengesetzte Abbildung $h = f [mm] \circ [/mm] g$ auch wieder eine Bijektion ist.
Jetzt ist nur EINE feste Abbildung [mm] $\pi \in S_n$ [/mm] vorgegeben und Du definierst Dir jetzt das $g: [mm] S_n \to S_n$ [/mm] wie folgt:
$g ( [mm] \phi) [/mm] = [mm] \phi \circ \pi$.
[/mm]
Mit anderen Worten: Deine Abbildung $g$ operiert auf einer Menge von Funktionen! Die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] ist also Deine Variable, die Du einsetzt. Und dann kommt irgendwas heraus.
Du mußt jetzt zeigen, dass $g$ aufgefaßt als Abbildung auf der Funktionenmenge eine Bijektion ist, d.h. Du mußt zeigen:
1) $g$ ist injektiv, d.h. zu [mm] $\phi_1, \phi_2 \in S_n$ [/mm] beliebig mit der Eigenschaft, dass [mm] $g(\phi_1) [/mm] = [mm] g(\phi_2)$ [/mm] muß folgen: [mm] $\phi_1 [/mm] = [mm] \phi_2$.
[/mm]
2) $g$ ist surjektiv, das heißt zu jedem Element [mm] $\alpha \in S_n$ [/mm] gibt es ein [mm] $\phi \in S_n$ [/mm] mit [mm] $g(\phi) [/mm] = [mm] \alpha$.
[/mm]
Das ist zu zeigen - und dabei darf benutzt werden, dass die Menge der Funktionen, auf der da operiert wird, eine Menge von bijektiven Funktionen ist, das heißt alles was da vorkommt [mm] ($\pi, \phi_1, \phi_2, \alpha, \ldots$) [/mm] sind selbst wieder Bijektionen.
Alles klar? Das $g$ operiert auf einer Funktionenmenge und da als bijektive Abbildung, wie Du zeigen sollst.
Viel Erfolg!
Lars
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danke,
deine Antwort hat mir geholfen
jetzt weiss ich was gemeint ist 
gruß peter
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