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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Mi 12.12.2007 | | Autor: | gokhant |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich weiss nicht weiter hab eben von linearen Abbildungen die Matritzen bestimmt aber ich weiss nicht wie ich das machen soll...
Ich würde mich um jegliche Hilfe freuen..(wäre gut wenn es einfach erklärt sein würde)
Mfg gokhant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mi 12.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Sag doch bitte um welche Aufgabe des Blattes es sich handelt.
Du sagtest du hast die Matrizen bestimmt?
Dann schreib sie doch auch gleich mit rein.
Und die Aufgabenstellung kannst du doch auch mal abtippen.
Beachte das mal und du wirst sehen, dass dir dann auch schneller geholfen wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mi 12.12.2007 | | Autor: | gokhant |
lieber Max es handelt sich um die Aufgabe 2.Ich habe eben mit Hilfe vons Schachuzipuz die Aufgabe 1 gemacht und die Matrizen für die linearen Abbildungen bestimmt. Das hat sich shcon geklärt ich muss es ja nicht wieder hierhinschreiben da es ja mit der Aufgabe 2 nichts zu tun hat.
könntest du mir bei der Aufgabe 2 helfen??
mfg gokhant
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es eine Basis A von [mm] \IR² [/mm] gibt, so dass für die lineare Abbildung f: [mm] \IR² \mapsto \IR² [/mm] , (x1,x2) [mm] \mapsto (\bruch{3}{2} [/mm] x1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x2, - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x1 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] x2) gilt, [mm] Mf,A,A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }. [/mm] Zeige Sie, dass f bijektiv ist und bestimmen Sie die Matrix Mf^-1,A,A. |
Hey,
so sieht die Aufgabe aus. Habe auch Probleme mit der. Ich denke dass die Matrix Mf^-1A,A so aussieht, [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1/2 }
[/mm]
Weiß aber nicht, wie ich zeige dass die Abbildung bijektiv ist und ich weiß auch nicht wie ich die Basis der Matrix bestimme.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also du hast stellst erstmal die Matrix bezüglich der Standardbasis (kanonischer Basis) auf. Da schreibst du ja jetzt einfach nur die Koeffizienten deines Bildpunktes rein (ich bin mit eurer Notation nicht so gut vertraut, desswegen, kanns sein, dass das bisschen komisch wird):
[mm] M_{E,E}=\pmat{3/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2}
[/mm]
Du sollst jetzt eine Basis finden, für die die Darstellungsmatrix Diagonalgestalt hat. Desswegen untersuchen wir M auf ihre Eigenwerte:
[mm] 0=det\pmat{3/2-\lambda & -1/2 \\ -1/2 & 3/2-\lambda}=(\bruch{3}{2}-\lambda)^2-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] =\lambda^2-3\lambda+2
[/mm]
Die Lösung dieser Gleichung lautet
[mm] \lambda_1=1, \lambda_2=2
[/mm]
Fazit:
M hat n(=2) verschiedene Eigenwerte [mm] \Rightarrow [/mm] M ist diagonalisierbar.
Wir müssen uns jetzt auch nicht die Mühe machen die Eigenvektoren auszurechnen um eine Übergangsmatrix zusammenzubauen, wenn wir wissen, dass die Diagonalmatrix die Eigenwerte in der Hauptdiagonale stehen hat.
Und das ist ja auch schon die gesuchte Matrix.
Heute abend schreib ich vielleicht noch was zur Bijektivität.
Gruß
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich hab da so einen Satz gefunden, der etwas über die Bijektivität linearer Abbildungen aussagt.
Sei [mm] v_1,...v_n [/mm] eine Basis von V.
Seien [mm] w_i=f(v_i) [/mm] für i=1,...,n
, dann
[mm] \{w_1,...,w_n\} Basis\gdw [/mm] f bijektiv.
Mit welcher Darstellungsmatrix und Basis wir jetzt arbeiten ist egal.
Ich nehme jetzt mal die kanonische Basis, da uns die Basis A noch nicht bekannt ist.
Dann ist
[mm] w_1=M*v_1=\vektor{3/2 \\ -1/2}
[/mm]
[mm] w_2=M*v_2=\vektor{-1/2 \\ 3/2}
[/mm]
Sind diese linear unabhängig?
[mm] 0=a_1w_1+a_2w_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_2=3a_1, [/mm] in der 2. Komponente folgt [mm] a_1=a_2=0
[/mm]
Also ist das ganze linear unabhängig.
Wir sind im [mm] \IR^2, [/mm] also bilden 2 linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendensystem und somit insgesamt eine Basis.
Damit ist gezeigt, dass f bijektiv ist.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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