bild einer matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 17.11.2007 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Abbildung f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3} \\ x_{4} } \mapsto \vektor{2x_{1}-x_{2} +3 x_{3} + x_{4}\\ -x_{1} +2 x_{2} + x_{3} -4 x_{4} \\ 3x_{1} +x_{2}-x_{3}+x_{4}}
[/mm]
a) Bestimmen Sie das Urbild des Nullvektors
b) Zeigen Sie, dass das Urbild der Null aus a) ein Untervektorraum im [mm] \IR^{4} [/mm] ist
c) Zeigen Sie alle Vektoren im [mm] \IR^{3} [/mm] für welche Urbilder unter f gibt
d) Zeigen Sie, dass die in c) bestimmte Menge ein Untervektorraum im [mm] \IR^{3} [/mm] ist |
Hallo,
sitze grad vor der Aufgabe und versuche sie zu lösen!also die a) habe ich!ist eigentlich nur A*x=0 und die Lösung ist mein Kern(f)!
also die b) und d) sind ja nur die Axiome des Untervektorraums entlang rechnen!bloß wie sieht es aus mit der c????wie berechne ich das Bild der Abbildung????kann mir jemand sagen was das bild ist und wie ich das ganze zu verstehen habe???
bedanke mich im vorraus für die hilfe
LG
nimet
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> Gegeben sei eine Abbildung f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{3} \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3} \\ x_{4} } \mapsto \vektor{2x_{1}-x_{2} +3 x_{3} + x_{4}\\ -x_{1} +2 x_{2} + x_{3} -4 x_{4} \\ 3x_{1} +x_{2}-x_{3}+x_{4}}[/mm]
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> a) Bestimmen Sie das Urbild des Nullvektors
> b) Zeigen Sie, dass das Urbild der Null aus a) ein
> Untervektorraum im [mm]\IR^{4}[/mm] ist
> c) Zeigen Sie alle Vektoren im [mm]\IR^{3}[/mm] für welche Urbilder
> unter f gibt
> d) Zeigen Sie, dass die in c) bestimmte Menge ein
> Untervektorraum im [mm]\IR^{3}[/mm] ist
> Hallo,
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> sitze grad vor der Aufgabe und versuche sie zu lösen!also
> die a) habe ich!ist eigentlich nur A*x=0 und die Lösung ist
> mein Kern(f)!
> also die b) und d) sind ja nur die Axiome des
> Untervektorraums entlang rechnen!bloß wie sieht es aus mit
> der c????wie berechne ich das Bild der Abbildung????kann
> mir jemand sagen was das bild
Hallo,
das Bild ist die Menge der Vektoren aus [mm] \IR^3, [/mm] auf welche unter Deiner Abbildung ein Vektor des [mm] \IR^4 [/mm] abgebildet wird.
Das Bild ist die Lineare Hulle (Span, erzeugte Menge) der Spaltenvektoren Deiner Matrix.
Suchst Du auch eine basis des Bildes, so mußt Du heir eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfiltern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Fr 23.11.2007 | | Autor: | nimet |
danke angela vorweg und sorry das ich erst jetzt reagiere!
> Suchst Du auch eine basis des Bildes, so mußt Du heir eine
> maximale linear unabhängige Teilmenge herausfiltern.
ok habe jetzt zwar verstanden was das die basis des bildes ist aber wie gehe ich da konkret voran???was muss ich alles beachten????
danke vorweg für die antwort
wäre super nett wenn mir jemand helfen könnte
LG
nimet
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> ok habe jetzt zwar verstanden was das die basis des bildes
> ist aber wie gehe ich da konkret voran???was muss ich alles
> beachten????
Hallo,
ich hoffe, daß Du auch verstanden hast, daß die Spalten der Matrix das Bild erzeugen.
Hieraus ergibt so doch automatisch eine mögliche Vorgehensweise:
such Dir aus diesen 4 Vektoren eine max. linear unabhängige Teilmenge zusammen.
Den ersten kannst Du auf jeden Fall nehmen, dann guck, ob 1.und 2. linear unabhängig sind, wenn ja, dann schau, ob Du den drittenauch dazunehemen kannst,
wenn nicht, guck, ob 1. und 3. unabhängig sind , wenn ja, prüfe, ob Du den 4. dazunehmen kannst.
Ich hoffe, daß Du das Prinzip verstanden hast: systematisch v. vorn nach hinten eine linear unabhängige Teilmenge zusammenstellen.
Versuch das erstmal.
Daneben gäbe es noch einen anderen Weg - der den Nachteil hat, daß es nicht so klar ist, was man gerade tut:
steck die Vektoren als Zeilen in eine Matrix, bring sie auf Zeilenstufenform, die Zeilen, die keine Leerzeilen sind, liefern Dir eine Basis des aufgespannten Raumes. (Du mußt sie natürlich wieder "hinstellen", also Spalten draus machen.)
Gruß v. Angela
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