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binomialkoeffizient: Vereinfachen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mo 25.04.2011
Autor: simplify

Aufgabe
Berechnen Sie die Summe [mm] \summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k} [/mm] für natürliche Zahlen [mm] m\le [/mm] n (d.h. fi nden Sie eine einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt).

Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht und bin an folgendem punkt :
[mm] \summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}= [/mm]
[mm] =\summe_{k=m}^{n} \bruch{k!}{m!*(k-m)!}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}= [/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{(k-m)!*(n-k)!}= [/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\bruch{1}{(m+1-m)!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\bruch{1}{(n-m)!*(n-n)!}]= [/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{0!*(n-m)!}+\bruch{1}{1!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(2!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*2!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*1!}+\bruch{1}{(n-m)!*0!}] [/mm]

weiter komme ich leider im moment nicht...
aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man muss da ganz anders rangehen?
für hinweise wäre ich sehr dankbar!
lg

        
Bezug
binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mo 25.04.2011
Autor: abakus


> Berechnen Sie die Summe [mm]\summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}[/mm]
> für natürliche Zahlen [mm]m\le[/mm] n (d.h. fi nden Sie eine
> einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt).
>  Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht
> und bin an folgendem punkt :
>  [mm]\summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}=[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{k=m}^{n} \bruch{k!}{m!*(k-m)!}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}=[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{(k-m)!*(n-k)!}=[/mm]
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\bruch{1}{(m+1-m)!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\bruch{1}{(n-m)!*(n-n)!}]=[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{0!*(n-m)!}+\bruch{1}{1!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(2!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*2!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*1!}+\bruch{1}{(n-m)!*0!}][/mm]
>  
> weiter komme ich leider im moment nicht...
>  aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man
> muss da ganz anders rangehen?

Ich würde mal ein wenig probieren. Für m=0 ergibt sich die Summe [mm] 2^n. [/mm]
Was erhältst du für andere feste Werte von m?
Gruß Abakus

>  für hinweise wäre ich sehr dankbar!
>  lg


Bezug
                
Bezug
binomialkoeffizient: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:50 Mo 25.04.2011
Autor: simplify

ok:
für m=1 ergibt sich [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{k\\ 1}\vektor{n \\ k}= \summe_{k=1}^{n}k*\vektor{n \\ k}=n*2^{n-1} [/mm]
so, wieter weiß ich jedoch auch nicht, denn für k=2 lässt sich der erste faktor meiner meinung nach nicht so vereinfachen...oder doch?

Bezug
                        
Bezug
binomialkoeffizient: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 27.04.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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