binomischer Lehrsatz Gl. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei x [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN, [/mm] man zeige:
[mm] x^2+ \frac{(1-x)*x}{n}+x^2= \sum_{k=0}^{n} \frac{n-1}{n}* \vektor{n-2 \\ k-2}+ [/mm] (1/n)* [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] * [mm] x^{k}* (1-x)^{n-k} [/mm] |
Hey
ich habe diese Aufgabe jetzt seit ca. 3 Stunden vor mir, komme aber nicht weiter. Denn egal wie ich die rechte Seite drehe und wende. Ich kann einfach keine sinnvolle Verbindung zum binomischen Lehrsatz herstellen.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Stinibini!
Überarbeite mal bitte die Aufgabenstellung. So, wie es da steht ist die rechte Seite (laut wolframalpha.com) gleich [mm]\frac{2^n n-2^n +4x}{4n}[/mm]. Selbst mit entsprechender Klammersetzung komme ich auf [mm]\frac{x((n-1)x+1)}{n}[/mm]...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Stinibini |
Hey
danke für den Hinweis, Aufgabenstellung ist überarbeitet. Kann vielleicht jemand die Frage als nicht beantwortet markieren?
Danke
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> sei x [mm]\in \IC[/mm] und n [mm]\in \IN,[/mm] man zeige:
> [mm]x^2+ \frac{(1-x)*x}{n}+x^2= \sum_{k=0}^{n} \frac{n-1}{n}* \vektor{n-2 \\ k-2}+[/mm] (1/n)* [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] * [mm]x%25255E%25257Bk%25257D*%252520(1-x)%25255E%25257Bn-k%25257D[/mm]
So ist die Aussage immer noch falsch. Könnte vielleicht
[mm]x^2+\frac{(1-x)x}{n}=\sum_{k=0}^n \left[ \frac{n-1}{n}\binom{n-2}{k-2} +\frac 1n\binom{n-1}{k-1}\right] x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
gemeint sein? (Mal abgesehen davon, dass die Binomialkoeffizienten für $k=0$ bzw $k=1$ nicht (alle) definiert sind.)
Den Teil in den eckigen Klammern kannst du mit der Formel [mm]\binom{n-1}{k-1}=\frac kn\binom nk[/mm], die du schon anderenorts zitiert hast, zu [mm]\frac{k^2}{n^2}\binom nk[/mm] umformen.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hey 
> So ist die Aussage immer noch falsch. Könnte vielleicht
> [mm]x^2+\frac{(1-x)x}{n}=\sum_{k=0}^n \left[ \frac{n-1}{n}\binom{n-2}{k-2} +\frac 1n\binom{n-1}{k-1}\right] x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
>
> gemeint sein?
ja genau, da der erste Summand wieder gleich 0 ist, da zuvor auch wieder der Bruch [mm] \frac{k^2}{n^2} [/mm] im Spiel war kann ich also schreiben:
[mm] \sum_{k=1}^n \left[ \frac{n-1}{n}\binom{n-2}{k-2} +\frac 1n\binom{n-1}{k-1}\right] x^k (1-x)^{n-k}
[/mm]
jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich weiter sinnvoll umformen soll. Denn wenn ich den Teil in der Klammer wieder umforme bringt mir das ja auch nicht allzu viel oder. dann erhalte ich:
[mm] \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}\frac{k^2}{n^2} x^k (1-x)^{n-k}
[/mm]
aus der vorherigen Aufgabe weiß ich auch, dass
[mm] \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}\frac{k}{n} x^k (1-x)^{n-k}=x
[/mm]
aber dann fehlt ja immer noch was..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
>
> > So ist die Aussage immer noch falsch. Könnte vielleicht
> > [mm]x^2+\frac{(1-x)x}{n}=\sum_{k=0}^n \left[ \frac{n-1}{n}\binom{n-2}{k-2} +\frac 1n\binom{n-1}{k-1}\right] x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
>
> >
> > gemeint sein?
> ja genau, da der erste Summand wieder gleich 0 ist, da
> zuvor auch wieder der Bruch [mm]\frac{k^2}{n^2}[/mm] im Spiel war
> kann ich also schreiben:
> [mm]\sum_{k=1}^n \left[ \frac{n-1}{n}\binom{n-2}{k-2} +\frac 1n\binom{n-1}{k-1}\right] x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
>
> jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich weiter sinnvoll
> umformen soll. Denn wenn ich den Teil in der Klammer wieder
> umforme bringt mir das ja auch nicht allzu viel oder. dann
> erhalte ich:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}\frac{k^2}{n^2} x^k (1-x)^{n-k}[/mm]
>
> aus der vorherigen Aufgabe weiß ich auch, dass
> [mm]\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}\frac{k}{n} x^k (1-x)^{n-k}=x[/mm]
>
> aber dann fehlt ja immer noch was..
>
>
>
> LG
>
>
Binomischer Satz: es sei n [mm] \ge [/mm] 2.Dann
(*) [mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}a^kb^{n-k}
[/mm]
Edit: es lautet natürlich so:
(*) $ [mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k\cdot{}b^{n-k} [/mm] $
Differenziere (*) zweimal nach a und multipliziere die resultierende Gleichung mit [mm] a^2.
[/mm]
Setze a=x und b=1-x und lies meine Antwort in dieser Diskussion
https://matheraum.de/read?t=1016805
und verwende
$ [mm] \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}\frac{k}{n} x^k (1-x)^{n-k}=x [/mm] $
FRED
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Hey
danke fred erstmal
ich weiß nur leider nicht, was du mit nach "a " differenzieren meinst. Ich würde jetzt auf den linken Term die Produktregel anwenden. Aber das hilft mir ja auch nicht wirklich weiter
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mo 14.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Die rechte Seite nach $a$ zwei mal differenzieren. Beachte
auch meine Mitteilung, denn da fehlte etwas.
Gruß
DieAcht
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Hey
aber wie kann ich denn die rechte Seite nach 'a' differenzieren? Produktregel bringt ja da wahrscheinlich nichts, ich verstehe leider nicht genau was gemeint ist
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> aber wie kann ich denn die rechte Seite nach 'a'
> differenzieren? Produktregel bringt ja da wahrscheinlich
> nichts, ich verstehe leider nicht genau was gemeint ist
Wir haben
(*) $ [mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k\cdot{}b^{n-k} [/mm] $
Wir halten b fest und setzen
[mm] f(a):=(a+b)^n [/mm] und [mm] g(a):=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k\cdot{}b^{n-k}
[/mm]
Berehne nun f'(a) und g'(a).
Wegen f(a)=g(a) für alle a haben wir dann
f'(a)=g'(a) für alle a.
FRED
>
>
>
> LG
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Hey
okay ich differenziere beide Seiten also 2 mal nach a und erhalte:
n* [mm] (a+b)^{n-1}= k*a^{k-1}
[/mm]
und dann das 2. mal differenzieren:
n* (n-1) * [mm] (a+b)^{n-2} [/mm] = k* (k-1)* [mm] a^{k-2}
[/mm]
jetzt multipliziere ich beide Seiten mit [mm] a^2 [/mm] und erhalten:
n* (n-1) * [mm] (a+b)^{n} [/mm] = k* (k-1)* [mm] a^{k}
[/mm]
wenn ich jetzt a=x und b= 1-x setzte:
n* (n-1) * [mm] (x+(1-x))^{n} [/mm] = k* (k-1)* [mm] x^{k}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n* (n-1) = k* (k-1)* [mm] x^{k}
[/mm]
stimmt das soweit?nur was hat das mit der obigen Aufgabe zu tun?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> okay ich differenziere beide Seiten also 2 mal nach a und
> erhalte:
> n* [mm](a+b)^{n-1}= k*a^{k-1}[/mm]
Hä ? Deine rechte Seite ist aber nicht die Ableitung von g !!!!
FRED
>
> und dann das 2. mal differenzieren:
>
> n* (n-1) * [mm](a+b)^{n-2}[/mm] = k* (k-1)* [mm]a^{k-2}[/mm]
>
> jetzt multipliziere ich beide Seiten mit [mm]a^2[/mm] und erhalten:
> n* (n-1) * [mm](a+b)^{n}[/mm] = k* (k-1)* [mm]a^{k}[/mm]
>
>
> wenn ich jetzt a=x und b= 1-x setzte:
>
> n* (n-1) * [mm](x+(1-x))^{n}[/mm] = k* (k-1)* [mm]x^{k}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] n* (n-1) = k* (k-1)* [mm]x^{k}[/mm]
>
> stimmt das soweit?nur was hat das mit der obigen Aufgabe zu
> tun?
>
>
> LG
>
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Hey
okay auf ein neues:
am Ende erhalte ich dann:
n* (n-1) * [mm] x^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}k*(k-1)*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
stimmt das nun?
leider sehe ich egal wie ichs drehe und wende immer noch kein Zusammenhang :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 15.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Stinibini!
> Hey
> okay auf ein neues:
>
> am Ende erhalte ich dann:
>
> n* (n-1) * [mm]x^2[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n}k*(k-1)*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
>
> stimmt das nun?
Wo ist denn der Binomialkoeffizient geblieben? Aber ansonsten passt's.
> leider sehe ich egal wie ichs drehe und wende immer noch
> kein Zusammenhang :-(
Forme die Gleichung so um, dass auf einer Seite [mm]\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*\frac{k^2}{n^2}*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm] steht. Beachte dabei, dass du keine Äquivalenzumformungen machen darfst, die [mm]k[/mm] beinhalten - das darf als Laufindex nur auf der Seite mit dem Summenzeichen auftauchen. Fange also mal damit an [mm]k*(k-1)[/mm] aufzudröseln und verwende dann die dir bekannte Formel [mm]\sum(\ldots)=x[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hey
wenn ich umforme erhalte ich dann:
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \frac{k}{n}*\frac{k-1}{n-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
jetzt weiß ich allerdings nicht so ganz weiter wie ich umformen soll..Ich könnte den Bruch [mm] \frac{k-1}{n-1} [/mm] vor die Summe ziehen, dann besteht die Summe nur noch aus dem Resultat der letzten Aufgabe und ist =x, aber das hilft mir ja dann trotzdem nicht weiter leider
und für =0 ist der erste Summand ja generell =0. Das bedeutet, dass ich schreiben kann:
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \frac{k}{n}*\frac{k-1}{n-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}
[/mm]
das könnte ich nun umformen zu:
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k+1} \frac{k+1}{n}*\frac{k}{n-1}*x^{k+1}*(1-x)^{n-k-1}
[/mm]
[mm] \gdw x^2 [/mm] =x* [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k+1} \frac{k+1}{n-1}*\frac{k}{n}*x^{k}*(1-x)^{n-k-1}
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 15.04.2014 | | Autor: | Fulla |
> Hey
>
> wenn ich umforme erhalte ich dann:
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \frac{k}{n}*\frac{k-1}{n-1}*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
Das stimmt leider nicht. Ich habe dir doch den Tipp gegeben, mit dem [mm]k(k-1)[/mm] anzufangen: [mm]k(k-1)=k^2-k[/mm]. Also
[mm]n*(n-1)*x^2=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (k^2-k)*x^{k}*(1-x)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k^2*x^{k}*(1-x)^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} k*x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
Dividiere jetzt die Gleichung durch n und ersetze die letze Summe. Teile dann noch einmal alles durch n und die verbleibende Summe hat die gewünschte Form.
> jetzt weiß ich allerdings nicht so ganz weiter wie ich
> umformen soll..Ich könnte den Bruch [mm]\frac{k-1}{n-1}[/mm] vor
> die Summe ziehen, dann besteht die Summe nur noch aus dem
> Resultat der letzten Aufgabe und ist =x, aber das hilft mir
> ja dann trotzdem nicht weiter leider
Nein, das geht nicht. Du kannst das k nicht aus der Summe rausziehen.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hey
ja das verstehe ich. die Rechte Seite stimmt dann mit der gewünschten Gleichung überein. die linke nur leider nicht, da ich dann dort am Ende
[mm] \frac{x}{n}+x^{2}*(n-1) [/mm] erhalte:-(
und haben möchte ich ja : [mm] x^2 [/mm] + (1-x)*x/n
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Fulla |
> Hey
> ja das verstehe ich. die Rechte Seite stimmt dann mit der
> gewünschten Gleichung überein. die linke nur leider
> nicht, da ich dann dort am Ende
> [mm]\frac{x}{n}+x^{2}*(n-1)[/mm] erhalte:-(
Du musst beim zweiten Mal, wo du durch n dividierst schon die ganze Gleichung teilen:
[mm] $\frac{x+x^{2}*(n-1)}{n}$
[/mm]
> und haben möchte ich ja : [mm]x^2[/mm] + (1-x)*x/n
Ja, und das kommt dann auch raus 
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 14.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Binomischer Satz: es sei n [mm]\ge[/mm] 2.Dann
>
> (*) [mm](a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}a^kb^{n-k}[/mm]
Du meinst:
[mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k*b^{n-k} [/mm] für alle [mm] a,b\in\IC [/mm] und [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> > Binomischer Satz: es sei n [mm]\ge[/mm] 2.Dann
> >
> > (*) [mm](a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}a^kb^{n-k}[/mm]
>
> Du meinst:
>
> [mm](a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k*b^{n-k}[/mm] für
> alle [mm]a,b\in\IC[/mm] und [mm]n\in\IN_0.[/mm]
Hallo Acht,
au Backe, klar da fehlt was. Danke fürs Acht geben.
Gruß FRED
>
>
> Gruß
> DieAcht
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