binomischer Satz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Di 31.03.2009 | | Autor: | aleskos |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes:
[mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}2^{m}=3^{n} n\in\IN [/mm] |
Habe leider die letzte Mathestunde verpasst und hänge nun auf dem Schlauch :(
ich weiß momentan, dass [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] soviel wie [mm] \bruch{n(n-1).....(n-m+1)}{1.2.3...m} [/mm] so... mmmhhh, wie geht man bei so einer Aufgabe vor?
Bitte um kurzen Ansatz
Danke schon mal schön im voraus
aleskos
|
|
| |
|
Hallo Aleskos!
Zum binomischen Lehrsatz kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier etwas lesen.
Dann betrachte für Deine Aufgabe:
[mm] $$3^n [/mm] \ = \ [mm] (1+2)^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 31.03.2009 | | Autor: | aleskos |
danke Roadrunner,
ich muss also zeigen, dass [mm] \vektor{n \\ m}2^{m} [/mm] gleich [mm] 3^{n} [/mm] oder [mm] (1+2)^{n} [/mm] ist, ok!
[mm] a^{n-k}*b^{m}*2^{m}=3^{n} [/mm] ist das der richtiger Anfang? Kann man das so machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Di 31.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> ich muss also zeigen, dass [mm]\vektor{n \\ m}2^{m}[/mm] gleich
> [mm]3^{n}[/mm] oder [mm](1+2)^{n}[/mm] ist, ok!
> [mm]a^{n-k}*b^{m}*2^{m}=3^{n}[/mm] ist das der richtiger Anfang?
> Kann man das so machen?
Nein. Der binomische Satz sagt doch [mm] $(a+b)^n=\sum_{m=0}^n{n\choose m}a^m b^{n-m}$ [/mm] Jetzt Setz mal für a=2 und b=1 ein...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 31.03.2009 | | Autor: | aleskos |
heißt es nicht:
[mm] (a+b)^{n}=\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}a^{n-m}*b^{m}
[/mm]
oder macht es kein Unterschied?
wie komme ich dann auf [mm] 3^{n}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> heißt es nicht:
>
> [mm](a+b)^{n}=\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}a^{n-m}*b^{m}[/mm]
>
> oder macht es kein Unterschied?
Nein. Schreib die Summe mal aus und lege Dir das Pascalsche Dreieck nebendran
>
> wie komme ich dann auf [mm]3^{n}?[/mm]
a = 1, b = 2
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 31.03.2009 | | Autor: | aleskos |
okey.... soweit ist klar!
alles zerlegt, sieht dann folgendermaßen aus
[mm] (a+b)^{2}=\vektor{n \\ 0}a^{n}b^{0}+\vektor{n \\ 1}a^{n-1}b^{1}+\vektor{n \\ 2}a^{n-2}b^{2}+......\vektor{n \\ n-1}a^{1}b^{n-1}+\vektor{n \\ n}a^{0}b^{n}
[/mm]
was mache ich nun mit [mm] 2^{m}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> okey.... soweit ist klar!
>
> alles zerlegt, sieht dann folgendermaßen aus
>
> [mm](a+b)^{2}=\vektor{n \\ 0}a^{n}b^{0}+\vektor{n \\ 1}a^{n-1}b^{1}+\vektor{n \\ 2}a^{n-2}b^{2}+......\vektor{n \\ n-1}a^{1}b^{n-1}+\vektor{n \\ n}a^{0}b^{n}[/mm]
Links oben steht [mm] $(a+b)^n$
[/mm]
>
> was mache ich nun mit [mm]2^{m}?[/mm]
Für b setzt Du 2 ein und für a setzt Du 1 ein
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 31.03.2009 | | Autor: | aleskos |
kann ich das einfach so festlegen dass b=2 und a=1 ist?
verstehe immer noch nicht was [mm] 2^{m} [/mm] aussagen soll?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> kann ich das einfach so festlegen dass b=2 und a=1 ist?
>
>
> verstehe immer noch nicht was [mm]2^{m}[/mm] aussagen soll?
Also gut(noch mal von vorne)
Du sollst doch zeigen:
$ [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}2^{m}=3^{n} [/mm] $
Beweis: Nach dem Binomischen Satz ist
$ [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}2^{m}$ [/mm] =
$ [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}2^{m}1^{n-m} [/mm] = [mm] (1+2)^n [/mm] = [mm] 3^n$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
