bogenlänge berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 14.01.2011 | | Autor: | wergor |
| Aufgabe | Berechnen Sie die bogenlänge der Kurve
[mm] \gamma [/mm] : x'(t) = [mm] \vektor{2t² + 4 \\ 4t + 3}
[/mm]
mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 |
hi,
ich habe ein problem mit dem ausrechnen der bogenlänge.
die bogenlänge sollte sich ja über
[mm] \integral_{t_0}^{t_1}{\wurzel{x'² + y'²} dt} [/mm]
ausrechnen lassen. wenn ich jetzt aber für x' = 2t² + 4 setze und für y' = 4t+3 (in dem vektor sollten schon die ableitungen stehen, der vektor ist ja
x'(t) = [mm] \vektor{2t² + 4 \\ 4t + 3}
[/mm]
?) und komme dann auf das ungemütliche integral
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{4t^4 + 32t^2 + 24t + 25} dt} [/mm]
die ich ohne taschenrechner nicht lösen kann (kan man die überhaupt lösen?)
"übersehe" ich jedoch das verdächtige " ' " bei
x'(t) = [mm] \vektor{2t² + 4 \\ 4t + 3} [/mm]
leite die elemte ab und setze in die gleichung
[mm] \integral_{t_0}^{t_1}{\wurzel{x'² + y'²} dt} [/mm]
ein erhalte ich nach kurzer, einfacher rechnung das ergebnis 8/3.
könnt ihr mir da weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo wergor,
> Berechnen Sie die bogenlänge der Kurve
> [mm]\gamma[/mm] : x'(t) = [mm]\vektor{2t² + 4 \\
4t + 3}[/mm]
Bitte Exponenten mit dem Dach ^ links neben der 1 eingeben! Sonst werden sie nicht angezeigt.
Gemeint ist [mm]\gamma(t)=\vektor{2t^2+4\\
4t^2+3}[/mm]
> mit 0 [mm]\le[/mm] t
> [mm]\le[/mm] 1
> hi,
> ich habe ein problem mit dem ausrechnen der bogenlänge.
> die bogenlänge sollte sich ja über
> [mm]\integral_{t_0}^{t_1}{\wurzel{x'² + y'²} dt}[/mm]
Wieder keine Quadrate erkennbar - Nutze dir Vorschaufuntion, um solche Schnitzer selbst zu erkennen und ggfs. auszubessern
> ausrechnen lassen. wenn ich jetzt aber für x' = 2t² + 4
> setze und für y' = 4t+3 (in dem vektor sollten schon die
> ableitungen stehen, der vektor ist ja
> x'(t) = [mm]\vektor{2t² + 4 \\
4t + 3}[/mm]
> ?) und komme dann auf
> das ungemütliche integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{4t^4 + 32t^2 + 24t + 25} dt}[/mm]
> die ich ohne taschenrechner nicht lösen kann (kan man die
> überhaupt lösen?)
> "übersehe" ich jedoch das verdächtige " ' " bei
> x'(t) = [mm]\vektor{2t² + 4 \\
4t + 3}[/mm]
> leite die elemte ab und setze in die gleichung
> [mm]\integral_{t_0}^{t_1}{\wurzel{x'² + y'²} dt}[/mm]
> ein erhalte ich nach kurzer, einfacher rechnung das
> ergebnis 8/3.
>
> könnt ihr mir da weiterhelfen?
Ah, das ist kaum zu lesen und sehr wirr aufgeschrieben.
Du solltest deine Gedanken vor dem Eintippen echt sortieren!
Mit [mm]\gamma(t)=\vektor{x(t)\\
y(t)}[/mm] ist
[mm]L(\gamma)=\int\limits_{0}^{1}{||\gamma'(t)|| \ dt}=\int\limits_0^1{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \ dt}[/mm]
[mm]\gamma'(t)[/mm] berechnet sich komponentenweise, also [mm]\gamma'(t)=\vektor{x'(t)\\
y'(t)}=\vektor{4t\\
8t}[/mm]
Eingesetzt in die Formel ergibt sich doch ein kinderleichtes Integral ...
Rechne ab hier nochmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> hi,
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> danke für den hinweis, die richtige kurve sollte lauten:
> [mm]\gamma[/mm] : x'(t) = [mm]\vektor{2t^2 +4 \\
4t + 3}[/mm]
>
> und die formel für die begenlänge ist natürlich
> [mm]\integral_{t_0}^{t_1}{\wurzel{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt}[/mm]
Du hast [mm]x(t)[/mm] bzw. [mm]x'(t)[/mm] oben schon vergeben, das ist nicht so gut im Sinne einer konsistenten Bezeichnung.
So, wie es dasteht, ist das Quatsch!
Du meinst es aber richtig.
Konistenter siehe oben!
>
> das integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{4t^4 + 32t^2 + 24t + 25} dt}[/mm]
> ist
> aber immer noch gleich unfreundlich 
> zumindest ist es das, wenn ich annehme, dass in
> [mm]\gamma[/mm] : x'(t) = [mm]\vektor{2t^2 +4 \\
4t + 3}[/mm]
> schon die
> ableitungen stehen, die ich brauche (eben wegen dem "
> x'(t) ").
> oder ist nur wichtig ob da [mm]\gamma[/mm] oder [mm]\gamma[/mm] ' steht? denn
> wenn ich annehme, dass in dem vektor nicht die benötigten
> ableitungen stehen, wird das integral einfacher: das
> interal wäre dann [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{16t^2 + 16} dt}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie löse ich dieses integral? (falls mein rechengang
> stimmt ) bei 4 [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{t^2 + 1} dt}[/mm]
> komme ich nicht mehr weiter :-(
Jo, das ist mit dem Wissen um den Zusammenhang der hyperbolischen Funktionen nicht allzu schwierig
Es ist [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm], also [mm]\cosh^2(z)=\sinh^2(z)+1[/mm]
Wie könnte also eine mehr als naheliegende Substitution für dein Integral nun aussehen?
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> sry nochmal wegen den tippfehlern, habe das in der vorschau
> nicht gesehen
Ok, sei einfach das nächste Mal etwas sorgfältiger
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Fr 14.01.2011 | | Autor: | wergor |
danke, habe es jetzt endlich lösen können!
mfg,
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Hallo nochmal,
Prima!!
Was hast du denn heraus? Nur so aus Interesse und zum Vergleich?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Fr 14.01.2011 | | Autor: | wergor |
habe als ergebnis 4 herausbekommen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 16.01.2011 | | Autor: | wergor |
da hab ich doch wirklich auf die rücksubstitution vergessen :-D
ich habe mit t = sinh(x) substituiert, und als ergebnis des integrals 4x herausbekommen, dann rücksubstituiert mit x = arsinh(t) und das ergebnis ist dann 3,523. ich hoffe das stimmt jetzt :-D
mfg,
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Hallo nochmal,
> da hab ich doch wirklich auf die rücksubstitution
> vergessen :-D
> ich habe mit t = sinh(x) substituiert, und als ergebnis des
> integrals 4x herausbekommen, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ergibt sich mit der Substitution doch [mm] $4\int{\cosh^2(x) \ dx}$
[/mm]
> dann rücksubstituiert mit x =
> arsinh(t) und das ergebnis ist dann 3,523. ich hoffe das
> stimmt jetzt :-D
Mit [mm] $t=\sinh(x)$ [/mm] ist [mm] $\frac{dt}{dx}=\cosh(x)$, [/mm] also [mm] $dt=\cosh(x) [/mm] \ dx$
Du hast also [mm] $4\int{\sqrt{\cosh^2(x)} \ \cosh(x) \ dx}=4\int{\cosh^2(x) \ dx}$
[/mm]
Das kannst du mit partieller Integration erledigen oder indem du die Definition über die e-Funktion benutzt.
> mfg,
>
Gruß
schachuzipus
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