cauchy-integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Fr 23.12.2005 | | Autor: | lck |
| Aufgabe | [mm] \integral_{|z|=3}^{} {\bruch{e^{z}}{z²+2z}dz}
[/mm]
Integral ist als Umlaufintegral zu verstehen |
hallo!
Ich hab mit ner Partialbruchzerlegung angesetzt und hänge jetzt an folgender stelle fest:
0.5* [mm] \integral_{|z|=3}^{} {\bruch{e^{z}}{z}dz}-0.5* \integral_{|z|=3}^{} {\bruch{e^{z}}{z+2}dz}
[/mm]
WIe berechne ich jetzt dieses integral?habs versucht mit z= [mm] 3*e^{it} [/mm] zu lösen, aber das funktioniert nicht.
wäre für einen tipp dankbar, denn ich scheine hier grundsätzlich etwas nicht verstanden zu haben
gruß
LCK
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Ich kann mir nicht vorstellen, daß diese Aufgabe gestellt wurde, ohne daß der Residuensatz behandelt ist. Denn das ist eine typische Anwendung desselben.
Der Integrand hat bei [mm]z=0[/mm] und [mm]z=-2[/mm] Polstellen der Ordnung 1. Bestimme die Residuen [mm]c_0[/mm] bzw. [mm]c_{-2}[/mm] des Integranden für diese Stellen. Dann gilt:
[mm]\int_{|z|=3}^{}~\frac{\operatorname{e}^z}{z^2 + 2z}~\mathrm{d} z \ = \ 2 \pi \operatorname{i} \, \left( c_0 + c_{-2} \right)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 24.12.2005 | | Autor: | lck |
Hallo!
Also Residuensatz ist in dem Zusammenhang nie gefallen, hat das nichts mit der Cauchy-integralformel zu tun? Diese Aufgabe steht nämlich im Buch unter eben diesem Abschnitt!Das Ergebnis das laut Buch übrigens rauskommen soll ist: [mm] \pi*Ie^{o}-\pi*i*e^{-2}
[/mm]
gruß lck
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 25.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo lck,
der Residuensatz wird evtl. noch kommen, bei der Aufgabe kommst Du allerdings auch schon mit der Cauchy-Integralformel ans Ziel!
Für eine Kreisscheibe B und eine Fkt. f, die auf [mm]D \supset \overline{B} [/mm] holomorph ist gilt ja:
[mm] f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B} \frac{f(z)}{z-z_0} dz [/mm]
oder umgeformt:
[mm]\int_{\partial B} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i f(z) [/mm]
...und Deine Integrale haben (nach der Zerlegung) doch genau die Form der linken Seite (was ist f, was [mm]z_0[/mm]?)! Also jetzt nur pro Integral in die Formel einsetzen und fertig!
Gruß
piet
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