cauchyfolge Beispiel bitte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Grüß Gott
Ich wollte mal wissen ob es cauchyfolgen in cauchyfolgen abbildung die stetig sind gibts?
ich kenne die
[mm] (a_{n}) [/mm] 1/n die Folge ist eine Nullfolge und auch cauchyfolge? ne?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Serif
Soviel ich weiss, sind konvergierende Folgen immer Cauchyfolgen.
Und in [mm] $\IR$ [/mm] (und [mm] $\IC$)gilt [/mm] auch die Umkehrung. Cauchyfolgen konvergieren immer, weil [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist.
Hingegen gibt es Cauchyfolgen in [mm] $\IQ$, [/mm] die nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergieren, weil der Grenzwert nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
ich wollte mal eine konkrete beispiel sehen. ? danke
wie zeige ich dann eine stetige abbildun cauchyfolge in cauchyfolge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo SERIF!
Wenn ich dich richtig verstehe, willst du wissen, warum eine stetige Abbildung Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen überführt.
Nun, sei also [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion und [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge.
Da Cauchy-Folgen beschränkt sind, gibt es ein kompaktes Intervall $I [mm] \subset \IR$ [/mm] mit
[mm] $\{x_n\, : \, n \in \IN\} \subset [/mm] I$.
Als stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist [mm] $f_{\vert I}$ [/mm] ($f$, eingeschränkt auf das Intervall $I$) stetig.
Es sei nun [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Da [mm] $f_{\vert I}$ [/mm] gleichmäßig stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.
[/mm]
Da [mm] $(x_n)_{n \ in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, gibt es einen Index [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n,m [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|x_n-x_m|<\delta$.
[/mm]
Aus den vorhergehenden Überlegungen folgt:
[mm] $|f(x_n)-f(x_m)| [/mm] < [mm] \varepsilon$,
[/mm]
d.h. [mm] $(f(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Cauchy-Folge.
Da Cauchy-Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] genau die konvergenten Folgen sind, bedeutet das nicht anderes als die Tatsache, dass stetige Funktionen konvergente Folgen in konvergente Folgen überführen, was gerade die Folgenstetigkeit besagt.
Ich wollte es aber mal direkt mit den Definitionen (extra für dich) zeigen. 
Als Beispiel kannst du jede beliebige konvergente Folge und jede beliebige stetige Funktion wählen.
Liebe Grüße
Julius
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