char. Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 20.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Guten Tag!
Sei [mm](\Omega,\mathcal{F})[/mm] ein Ergebnisraum. Wir betrachten für [mm]A,B,A_1,A_2,\hdots[/mm] die charakteristischen Funktionen [mm]\chi_A,\chi_B,\chi_{A_1},\chi_{A_2},\hdots[/mm].
Zeige:
a) [mm]\chi_A[/mm] ist eine Zufallsvariable.
b) [mm]\chi_{A\Delta B}=(\chi_A-\chi_B)^2[/mm], wobei [mm]A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)[/mm] die symmetrische Differenz zwischen A und B sei.
c) Die charakteristische Funktion von [mm]\bigcup_{n\geq 1}A_n[/mm] ist [mm] 1-\prod_{n\geq1}(1-\chi_{A_n})[/mm]. |
Meine Ideen:
Zu a):
[mm]\chi_A:\omega\in\Omega\mapsto \left\{0,1\right\}[/mm], wobei 0, wenn [mm]\omega\notin A[/mm] und 1, wenn [mm]\omega\in A[/mm].
Dann ist doch [mm]\chi_A^{-1}(0)\in A^C\in \mathcal{F}[/mm] sowie [mm]\chi_A^{-1}(1)\in A\in\mathcal{F}[/mm] und somit ist doch [mm]\chi_A[/mm] nach Definition eine Zufallsvariable.
Zu b):
Schreibe die symmetrische Differenz als
[mm]A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)[/mm]
Wie kann man nun weitermachen?
Eine kleine Hilfe wäre toll!
Zu c):
noch keine
Auch hier wäre ein Denkanstoß gut.
Besten Dank fürs Lesen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 20.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Achso, bei b) soll man vermutlich einfach nur nachweisen, dass die Angabe der char. Funktion stimmt.
[mm](\chi_A-\chi_B)^2=\chi_A^2-2\chi_A\chi_B+\chi_B^2[/mm]
Jetzt kann es ja folgende Fälle geben:
I. Sei [mm]x\in A\backslash B[/mm]. Dann ist x also in [mm]A\Delta B[/mm] und es müsste 1 herauskommen, tuts auch:
Denn man hat: 1-0-0=1
II. Sei [mm]x\in B\backslash A[/mm], dann kommt ebenso 1 heraus.
III. [mm]x\in A\wedge x\in B [/mm], d.h. [mm]x\in A\cap B[/mm], dann muss 0 herauskommen, denn [mm]x\notin A\Delta B[/mm].
Stimmt! 1-2+1=0
Vermutlich ists so gemeint.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 20.08.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Dennis,
waehle [mm] $x\in\Omega$. [/mm] Zu zeigen ist $ [mm] \chi_{A\Delta B}(\omega)=(\chi_A(\omega)-\chi_B(\omega))^2$. [/mm] Man kann nun zwei Faelle unterscheiden:
(i) [mm] $x\in{A\Delta B}$. [/mm] Dann ist
ia) [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\notin [/mm] B$
oder
ib) [mm] $x\notin [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$.
Im Fall ia) gilt [mm] $\chi_A(\omega)=1$ [/mm] und [mm] $\chi_B(\omega)=0$, [/mm] also [mm] $(\chi_A(\omega)-\chi_B(\omega))^2=1= \chi_{A\Delta B}(\omega)$.
[/mm]
Im Fall ib) gilt ...
(ii) [mm] $x\notin{A\Delta B}$. [/mm] Dann ist
a) [mm] $\omega\in A\cap [/mm] B$
oder
b) [mm] $\omega\in \overline{A\cup B}$
[/mm]
Im Fall iia) gilt [mm] $\chi_A(\omega)=1=\chi_B(\omega)=0$, [/mm] also [mm] $(\chi_A(\omega)-\chi_B(\omega))^2=0=\chi_{A\Delta B}(\omega)$.
[/mm]
Im Fall iib) gilt ...
Bei c) kannst du analog verfahren.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 20.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke für Deine Antwort. Wie ich sehe, war meine Idee zu b), die ich der Mitteilung unter meiner Frage gepostet habe, vom Ansatz okay.
Nun versuche ich mich an c).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 20.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Muss man bei c) eigentlich unterscheiden, ob die [mm]A_n[/mm] disjunkt sind und nicht-disjunkt sind?
Wenn sie disjunkt sind, so gibt es da ja im Grunde nur drei Fälle.
I. Das Element ist in irgendeinem der [mm]A_n[/mm] enthalten, z.B. o.B.d.A in [mm]A_1[/mm].
Dann hat man halt:
[mm]\chi_{A_1}=1 [/mm] und [mm]\chi_{A_2}=\hdots\chi_{A_n}=0[/mm], also
[mm]1-[(1-1)\cdot (1-0)\cdot \hdots (1-0)]=1[/mm]
II. Das Element ist in irgendeineinem der anderen [mm]A_n[/mm], dann ist das analog.
Oder III. ist das Element gar nicht in der Vereinigung drin. Dann hat man halt
[mm]\chi_{A_1}=\hdots\chi_{A_n}=0[/mm] und dann kommt da
[mm]1-[1\cdot 1\cdot\hdots\cdot 1]=0[/mm] heraus.
Wenn die [mm]A_n[/mm] nicht disjunkt sind, kann das Element in mehreren der [mm]A_n[/mm] zugleich sein, dann kommt aber auch 1 heraus. Ebenso, wenn es in anderen der [mm]A_n[/mm] enthalten ist.
Und es kommt 0 heraus, wenns in keinem der [mm]A_n[/mm] ist.
Korrekt so? [Könnte man alles schöner formulieren, das weiß ich.]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 20.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Muss man bei c) eigentlich unterscheiden, ob die [mm]A_n[/mm]
> disjunkt sind und nicht-disjunkt sind?
>
>
Diese Annahme brauchst du nicht. Nimm wieder an [mm] $\omega\in\bigcup A_n$ [/mm] und [mm] $\omega\notin\bigcup A_n$. [/mm] Im letzteren Fall ist [mm] $\omega\notin A_n$ [/mm] fuer alle $n_$. Dann ist jeder der Faktoren 1, also ist die rechte Seite 0. Im ersten Fall ist [mm] $\omega\in\Bigcup A_n$ [/mm] fuer ein [mm] $A_n$. [/mm] Jetzt greift dein erstes Argument oben.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 20.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Nochmal besten Dank!
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