char. Funktion berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 29.02.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen miteinander
Leider stehe ich in einer Rechnung an und komm nicht weiter:
Wenn ich eine Zufallsvariable $Y$ mit Erfolgsparamter [mm] $p=\bruch{1}{2}$, [/mm] d.h. [mm] $P[Y=1]=P[Y=-1]=\bruch{1}{2}$ [/mm] (Münzenwurf), sowie eine Zufallsvariable $V-W$, wobei diese Differenz normalverteilt sei mit Erwartungswert 0 und Varianz a. Ich weiss, dass $U$ unabhängig zu $V$ und $W$ ist, also auch zu $V-W$.
Jetzt will ich die charakteristische Fkt. berechnen:
[mm] \varphi(t)=E[e^{itY(V-W)}] [/mm]
Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen? Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass $YV$,$YW$ unabhängig sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!
Greetz
hula
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Hiho,
> Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen?
> Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt
> schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass [mm]YV[/mm],[mm]YW[/mm] unabhängig
> sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!
unter der Annahme, dass $Y=U$ kannst du dank Fubini doch sofort nachvollziehen, dass gilt:
[mm] $E[e^{itY(V-W)}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}E[e^{it(V-W)}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}E[e^{-it(V-W)}] [/mm] $
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 29.02.2012 | | Autor: | hula |
> Hiho,
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> > Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen?
> > Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt
> > schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass [mm]YV[/mm],[mm]YW[/mm] unabhängig
> > sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!
>
> unter der Annahme, dass [mm]Y=U[/mm] kannst du dank Fubini doch
> sofort nachvollziehen, dass gilt:
richtig! Entschuldige den Fehler! Y=U
>
> [mm]E[e^{itY(V-W)}] = \bruch{1}{2}E[e^{it(V-W)}] + \bruch{1}{2}E[e^{-it(V-W)}][/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Wieso Fubini? Die charakteristische Funktion ist ja ein einfaches Integral. Ist die charak. Funktion von Produkten mehrfaches Integral? Man könnte doch auch die neue Zufallsvariable $Z:=Y(V-W)$ betrachten und einfach diese Integrieren, d.h.
$$ [mm] E[e^{itZ}]$$
[/mm]
Das wäre ja dann auch ein einfaches Integral.
Greetz
hula
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Hiho,
> Wieso Fubini? Die charakteristische Funktion ist ja ein
> einfaches Integral. Ist die charak. Funktion von Produkten
> mehrfaches Integral? Man könnte doch auch die neue
> Zufallsvariable [mm]Z:=Y(V-W)[/mm] betrachten und einfach diese
> Integrieren, d.h.
>
> [mm]E[e^{itZ}][/mm]
>
> Das wäre ja dann auch ein einfaches Integral.
Was ist denn ein "einfaches" Integral? Sicherlich ist das erstmal ein Integral, nur was für eins?
Wie ist denn allgemein der Erwartungswert definiert?
Und vorallem: Wie ist allgemein der Erwartungswert definiert, wenn X,Y zwei (beliebige) Zufallsvariablen und f eine meßbare Funktion sind und du
E[f(X,Y)]
berechnen willst?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 29.02.2012 | | Autor: | hula |
hallo gono
Vielleicht stehe ich gerade total auf dem Schlauch, aber ich würde sagen:
$$ [mm] E[e^{itX}]=\int_{\IR} e^{itx}d\mu$$
[/mm]
wobei [mm] $\mu$ [/mm] halt die Verteilung von $X$ ist. Das ist ein einfaches Integral! jetzt hätte ich gesagt, dass $Z:=Y(V-W)$ ist eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega$. [/mm] Also ist doch hier:
[mm] $$E[e^{itZ}]=\int_{IR}e^{itz}d\mu$$
[/mm]
wobei hier halt [mm] $\mu$ [/mm] die Verteilung von $Z=Y(V-W)$ ist. Das ist aber in meinen Augen immer noch ein einfaches Integral. Wie soll ich den nun Fubini anwenden?
Greets
hula
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Hiho,
> ich würde sagen:
>
> [mm]E[e^{itX}]=\int_{\IR} e^{itx}d\mu[/mm]
>
> wobei [mm]\mu[/mm] halt die Verteilung von [mm]X[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt hätte ich gesagt, dass [mm]Z:=Y(V-W)[/mm]
> ist eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm]\Omega[/mm]. Also ist doch hier:
>
> [mm]E[e^{itZ}]=\int_{IR}e^{itz}d\mu[/mm]
>
> wobei hier halt [mm]\mu[/mm] die Verteilung von [mm]Z=Y(V-W)[/mm] ist.
Ja, das kann man so machen. Ich schreibs mal ein bisschen anders und setze $X = V-W$ und betrachte dann Y und X als getrennte Abbildungen jeweils nach [mm] $\IR$, [/mm] dann hätten wir einen Erwartungswert der Form
E[f(X,Y)]
zu berechnen und der berechnet sich bekanntermaßen nach:
[mm]E[f(X,Y)]=\int_{\IR^2}f(x,y)d\mu_{(Y,X)}[/mm]
wobei [mm] $\mu_{(Y,X)}$ [/mm] die gemeinsame Verteilung von X und Y ist.
Nun sind Y und X aber unabhängig, d.h. die gemeinsame Verteilung ist das Produkt der Verteilungen, d.h.
[mm]E[f(X,Y)]=\int_{\IR}\int_{\IR}f(x,y)d\mu_Y\,d\mu_X = \int_{\IR}\left(\bruch{1}{2}*f(X,1) + \bruch{1}{2}f(X,-1)\right)\,d\mu_X = \bruch{1}{2}E[f(X,1)] + \bruch{1}{2}E[f(X,-1)][/mm]
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 29.02.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin hula,
m.E. kommt man auch auf die Gonosche Loesung, wenn man den Satz vom iterierten Erwartungswert anwendet.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 29.02.2012 | | Autor: | hula |
Aber hier verwende ich doch gar keinen bed. Erwartungswert. Kannst du deine Lösung ein wenig ausführlicher formulieren? Das wäre echt super! :)
Greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Do 01.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
betrachte die diskret verteilte Zufallsvariable [mm] $Z=\operatoname{E}[\exp[itYU\mid [/mm] Y]]$. Sie nimmt die Werte $Z= [mm] \operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y=-1]]=\operatoname{E}[\exp[-itU]]$ [/mm] und [mm] $\operatoname{E}[\exp[itU]]$ [/mm] an, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Mithin ist [mm] $\operatoname{E}[\operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y]]]=\operatoname{E}[Z]=(\operatoname{E}[\exp[-itU]]+\operatoname{E}[\exp[itU]])/2$ [/mm] (die Gonzosche Formel). Andererseits besagt der Satz vom iterierten Erwartungswert, dass [mm] $\operatoname{E}[\operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y]]]=\operatoname{E}[\exp[itYU]]$.
[/mm]
vg Luis
PS: Ist die Bestimmung der CF eine Fingeruebung fuer dich? Ich frage deshalb, weil es m.E. einfacher ist, die Verteilung von $YU_$ direkt zu bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 01.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
und wie es ohne bedingte Erwartung geht, hab ich nu auch beantwortet 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> m.E. kommt man auch auf die Gonosche Loesung, wenn man den
> Satz vom iterierten Erwartungswert anwendet.
ja, da kam ich auch schon drauf, wusste aber nicht, welches Wissen ich beim Fragesteller voraussetzen kann.
Habe nur aktuell keine Zeit für eine auführliche Antwort
Also falls du magst....
MFG,
Gono.
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