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char. Funktionen: Integration unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Aufgabe
zz.: [mm]N_{0,1}[/mm] hat die charakterist. Funktion [mm]e^{-\frac{1}{2}x^2}[/mm]


Hallo zusammen,

obiges wird als "Bsp." in unserem Stoch-I Skript "vorgerechnet"

Vorbem.: [mm]X\sim N_{0,1}[/mm] mit Dichte [mm]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}[/mm] und die char. Funktion [mm]\varphi[/mm] berechnet sich durch:

[mm]\varphi(t)=\int{e^{itx}f(x) \ dx}[/mm], also ist [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{e^{itx}e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}[/mm] zu berechnen.

Da schreibt er lapidar, das sei [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{\cos(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}[/mm]

Meine Frage: Wieso ist [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{i\sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}=0[/mm]

Ich sehe zwar, dass der Integrand ungerade ist, dass also das Integral über jedes endliche um 0 symmetr. Intervall verschwindet, aber es wird ja von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] integriert.

Wieso verschwindet das Integral?

Wäre nett, wenn mir jemand kurz helfen könnte ...

Danke

Gruß

schachuzipus


        
Bezug
char. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Mo 16.04.2012
Autor: fred97

Hallo Schachuzipus.


Es ist

    (*) [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= \integral_{- \infty}^{0}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}+\integral_{0}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx} [/mm]

Nun betrachten wir für a>0 das Integral

                   [mm] \integral_{0}^{a}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}. [/mm]

Mit der Substitution x=-u bekommen wir

                 $ [mm] \integral_{0}^{a}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= -\integral_{-a}^{0}{sin(tu)e^{-\frac{1}{2}u^2} du}.$ [/mm]

Das bedeutet:

            $ [mm] \integral_{- \infty}^{0}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}$. [/mm]

Aus (*) folgt dann:


              [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}=0 [/mm]

Gruß FRED

Bezug
                
Bezug
char. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Fred und danke erstmal,

sowas in der Art hatte ich auch schon überlegt.

M.E. muss man aber noch begründen, dass die Integrale endlich sind.

Das Problem ist je immer sowas wie [mm] $\infty-\infty$. [/mm]


Oder was meinst du?

Gruß
schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
char. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Mo 16.04.2012
Autor: fred97


> Hallo Fred und danke erstmal,
>  
> sowas in der Art hatte ich auch schon überlegt.
>  
> M.E. muss man aber noch begründen, dass die Integrale
> endlich sind.

Das sind sie:

             [mm] |sin(tx)*e^{-\bruch{1}{2}x^2}| \le e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm]

und das Integral [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2} dx} [/mm] ist konvergent.

FRED

>  
> Das Problem ist je immer sowas wie [mm]\infty-\infty[/mm].
>  
>
> Oder was meinst du?
>  
> Gruß
>  schachuzipus
>  


Bezug
                                
Bezug
char. Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Hi Fred,

ja, das ist mir gerade unterwegs auf dem Roller auch eingefallen.

Danke dir!

Gruß


schachuzipus


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