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Hallo Vorhilfe-team,
ich soll zeigen, dass wenn [mm] \varphi [/mm] ein diagonalisierbarer Endomorphimus und [mm] \delta_\varphi(t) [/mm] das charakteristische Polynom ist, dass dann [mm] \delta_\varphi(\varphi) [/mm] = 0 ist.
Ich weiß, dass [mm] \varphi [/mm] eine Basis aus EV besitzt, da diagonalisierbar.
Dann weiß ich, dass [mm] \delta_\varphi(t) [/mm] = [mm] det(M^{A}_A(\varphi) [/mm] - t * [mm] E_n) [/mm] ist, wobei A eine beliebige Basis ist.
Wie zeige ich jetzt dass [mm] \delta_\varphi(\varphi) [/mm] Null ist? Einfach einsetzen ist ja sicherlich falsch.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 24.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich soll zeigen, dass wenn [mm]\varphi[/mm] ein diagonalisierbarer
> Endomorphimus und [mm]\delta_\varphi(t)[/mm] das charakteristische
> Polynom ist, dass dann [mm]\delta_\varphi(\varphi)[/mm] = 0 ist.
>
> Ich weiß, dass [mm]\varphi[/mm] eine Basis aus EV besitzt, da
> diagonalisierbar.
>
> Dann weiß ich, dass [mm]\delta_\varphi(t)[/mm] =
> [mm]det(M^{A}_A(\varphi)[/mm] - t * [mm]E_n)[/mm] ist, wobei A eine beliebige
> Basis ist.
>
> Wie zeige ich jetzt dass [mm]\delta_\varphi(\varphi)[/mm] Null ist?
> Einfach einsetzen ist ja sicherlich falsch.
Nimm dir eine Basis $A = [mm] (v_1, \dots, v_n)$, [/mm] die aus Eigenvektoren von [mm] $\varphi$ [/mm] besteht: dann ist [mm] $M_A^A(\varphi)$ [/mm] eine Diagonalmatrix, sagen wir mit Eintraegen [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. [/mm] Wie sieht jetzt [mm] $\delta_\varphi(t)$ [/mm] aus?
Berechne nun [mm] $\delta_\varphi(\varphi)(v_i)$ [/mm] fuer alle $i$. Wenn eine lineare Abbildung alle Basisvektoren auf 0 abbildet, ist sie bereits identisch 0 -- also waer dann [mm] $\delta_\varphi(\varphi) [/mm] = 0$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 24.05.2011 | | Autor: | Heatshawk |
okay verstehe ich soweit.
[mm] \delta_\varphi(t) [/mm] = [mm] (\lambda_1-t)*...+(\lambda_n-t)
[/mm]
Damit ist [mm] \delta_\varphi(t)(v_i) [/mm] wahrscheinlich schon 0^^
Aber [mm] v_i [/mm] ist doch ungleich [mm] \lambda_i [/mm] damit ist das Produkt doch ungleich 0, oder wieder falsch?
Vielen Dank schonmal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 25.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> okay verstehe ich soweit.
>
> [mm]\delta_\varphi(t)[/mm] = [mm](\lambda_1-t)*...+(\lambda_n-t)[/mm]
Das + sollte sicher ein [mm] $\cdot$ [/mm] sein.
> Damit ist [mm]\delta_\varphi(t)(v_i)[/mm] wahrscheinlich schon 0^^
Nein, das macht doch keinen Sinn. [mm] $\delta_\varphi(t)$ [/mm] ist ein Polynom, und ein Polynom mal einen Vektor ist nur dann Null, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
> Aber [mm]v_i[/mm] ist doch ungleich [mm]\lambda_i[/mm] damit ist das Produkt
> doch ungleich 0, oder wieder falsch?
Das Produkt [mm] $\delta_\varphi(t)(v_i)$ [/mm] ist auch nicht 0. Aber du sollst [mm] $\delta_\varphi(\varpih)(v_i)$ [/mm] ausrechnen.
Fuer festes $i$ kannst du [mm] $\delta_\varphi [/mm] = [mm] p_i(t) \cdot [/mm] (t - [mm] \lambda_i)$ [/mm] schreiben mit einem Polynom [mm] $p_i(t)$ [/mm] (warum?). Damit ist [mm] $\delta_\varphi(\varphi) [/mm] = [mm] p_i(\varphi) \circ (\varphi [/mm] - [mm] \lambda_i \cdot id_V)$. [/mm] Damit solltest du jetzt [mm] $\delta_\varphi(\varphi)(v_i)$ [/mm] ausrechnen koennen.
LG Felix
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Meine obige Antwort war totaler Quatsch.
Aber wie berechne ich denn jetzt [mm] \delta_\varphi(\varphi)(v_i)?
[/mm]
Ich steig da gerade echt nicht hinter.
Vielen Dank nochmals.
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> Aber wie berechne ich denn jetzt
> [mm]\delta_\varphi(\varphi)(v_i)?[/mm]
>
> Ich steig da gerade echt nicht hinter.
Hallo,
wenn [mm] \varphi [/mm] diagonalisierbar ist, dann gibt es eine Basis [mm] A:=(v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] bzgl. derer die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] Diagonalgestalt hat.
Wenn wir die Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] haben, ist die Darstellungsmatrix [mm] diag(\lambda_1,...\lambda_n).
[/mm]
Das charakteristische Polynom [mm] \chi_{\varphi} [/mm] von [mm] \varphi [/mm] ist
[mm] \chi_{\varphi}(t)=(\lambda_1-t)*...*(\lambda_n-t)
[/mm]
Was ist [mm] \chi_{varphi}(\varphi)?
[/mm]
[mm] \chi_{\varphi}(t)(\varphi)= [/mm] ...
Die Darstellungsmatrix von [mm] \xi_{varphi}(\varphi) [/mm] bzgl. der Basis A ist die Matrix [mm] \chi_{\varphi}(t)(diag(\lambda_1,...,\lambda_n))= [/mm] ???
Überlege Dir jetzt, daß dies die Nullmatrix ist.
Und wenn die Darstellungsmatrix von [mm] \chi_{\varphi}(t)(\varphi) [/mm] die Nullmatrix ist, dann kann es nicht anders sein, als daß [mm] \chi_{\varphi}(t)(\varphi) [/mm] die Nullabbildung ist.
Gruß v. Angela
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