charakter. Polynom und Normalformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich habe noch eine Aufgabe, die ich hier einmal vorstellen will. Eigentlich denken wir, dass wir sie so weit gelöst haben, aber da wir darin geprüft werden, wollten wir halt mal auf Nummer sicher gehen. Also hier erst mal die Aufgabe:
Es sei $ [mm] \chi_A [/mm] $ das charakteristische Polynom einer Matrix A mit Einträgen in einem Körper K. Ferner seien $ [mm] a_1 [/mm] , [mm] \cdots [/mm] , [mm] a_s [/mm] $ die Nichteinheiten unter den Elementarteilern einer endlichen Präsentation des $ [mm] K\left[x\right]-Moduls [/mm] $ $ [mm] K^n [/mm] $ bzgl. $ [mm] f_A \in End_K(K^n) [/mm] (mit [mm] f_A(X) [/mm] = A *X) $ . Geben Sie für die $ [mm] \chi_A [/mm] $ und K in (i) bis (iii) alle möglichen Mengen $ [mm] \left\{a_1 , \cdots , a_s \right\} [/mm] $ an, sowie die zugehörigen allgemeinen und Jordanschen Normalformen (falls letztere existieren).
(i) $ [mm] \chi_A [/mm] = [mm] x^4 [/mm] $ und $ K = [mm] \IQ [/mm] $
(ii) $ [mm] \chi_A [/mm] = [mm] (x+1)^2(x-1)^3 [/mm] $ und $ K = [mm] \IQ [/mm] $
(iii) $ [mm] \chi_A [/mm] = [mm] (x+1)^2(x^2+1)^2 [/mm] $ und $ K = [mm] \IR [/mm] $
So und das ist jetzt was wir also Lösung haben:
Zu (i):
Die möglichen Mengen sind:
$ [mm] \left\{ x^4 \right\} [/mm] $ oder
$ [mm] \left\{ x , x^3 \right\} [/mm] $ oder
$ [mm] \left\{ x^2 , x^2 \right\} [/mm] $ oder
$ [mm] \left\{ x , x , x^2 \right\} [/mm] $ oder
$ [mm] \left\{ x , x , x , x \right\} [/mm] $
Für die allgemeine und für die Jordansche Normalform haben wir was ganz komisches, nämlich die Nullmatrix, also:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
zu (ii):
als Menge gibt es hier nur:
$ [mm] \left\{ (x+1)^2(x-1)^3 \right\} [/mm] $ , da $ x-1$ teilt nicht $ x+1 $ und umgekehrt
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix} [/mm]
für die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
zu (iii):
als Menge gibt es hier wiederum nur:
$ [mm] \left\{ (x+1)^2(x^2+1)^2 \right\} [/mm] $ , da $ x+1$ teilt nicht $ [mm] x^2+1 [/mm] $ und umgekehrt
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
es gibt keine Jordansche Normalform, da das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Ja das ist was wir haben. Also bei (i) sind wir uns ganz unsicher, aber können eigentlich auch keinen Fehler finden. Na ja also wäre echt super, wenn jemand sich das hier mal anschauen könnte und schreiben könnte ob das stimmt oder nicht.
Frank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Frank!
Hmmh, ihr macht es euch hier ein bisschen einfach. 
> (i) [mm]\chi_A = x^4[/mm] und [mm]K = \IQ[/mm]
> (ii) [mm]\chi_A = (x+1)^2(x-1)^3[/mm]
> und [mm]K = \IQ[/mm]
> (iii) [mm]\chi_A = (x+1)^2(x^2+1)^2[/mm] und [mm]K = \IR[/mm]
> So und das ist jetzt was wir also Lösung haben:
> Zu (i):
> Die möglichen Mengen sind:
> [mm]\left\{ x^4 \right\}[/mm] oder
> [mm]\left\{ x , x^3 \right\}[/mm] oder
> [mm]\left\{ x^2 , x^2 \right\}[/mm] oder
> [mm]\left\{ x , x , x^2 \right\}[/mm] oder
> [mm]\left\{ x , x , x , x \right\}[/mm]
Das ist richtig. Aber zu jeder dieser verschiedenen Elementarteilerzerlegungen gehört doch jetzt eine andere Normalform, oder etwa nicht???
(Oder aber das liegt bei mir schon zu lange (10 Jahre) zurück... Es wäre eh besser, wenn dir andere Studenten helfen würden, bei denen das noch nicht so lange zurück liegt. Mir ist nicht ganz wohl dabei, da ich mir -insbesondere mit der rationalen kanonischen Form- unsicher bin.)
Zu [mm] $\{x^4\}$ [/mm] gehört die Normalform (rational und Jordansch):
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Zu [mm] $\{x,x^3\}$ [/mm] gehört die Normalform (rational und Jordansch):
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Zu [mm] $\{x^2,x^2\}$ [/mm] gehört die Normalform (rational und Jordansch):
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Zu [mm] $\{x,x,x^2\}$ [/mm] gehört die Normalform (rational und Jordansch):
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Zu [mm] $\{x,x,x,x\}$ [/mm] gehört die Normalform (rational und Jordansch):
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
> zu (ii):
>
> als Menge gibt es hier nur:
> [mm]\left\{ (x+1)^2(x-1)^3 \right\}[/mm] , da [mm]x-1[/mm] teilt nicht [mm]x+1[/mm]
> und umgekehrt
Aber trotzdem gibt es doch (zusätzlich!) noch die Elementarteilerzerlegungen
[mm] $\{x+1,(x+1)(x-1)^3\}$ [/mm] und
[mm] $\{(x-1),(x-1)^2(x+1)^2\}$
[/mm]
[mm] $\{(x-1),(x-1),(x-1)(x+1)^2\}$,
[/mm]
[mm] $\{(x-1),(x-1)(x+1),(x-1)(x+1)\}$
[/mm]
[mm] $\{(x-1)(x+1),(x-1)^2(x+1)\}$
[/mm]
oder etwa nicht?
Also insgesamt $6$ Stück. Und dazu gehören jetzt $6$ Jordansche Normalformen und $6$ rationale kanonische Normalformen.
Versucht die doch mal zu finden... Und meldet euch mit euren Ergebnissen. 
Die letzte Aufgabe bekommt ihr dann auch hin, denn auch da gibt es natürlich mehrere mögliche rationale kanonische Normalformen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
du hast Recht. Vielen Dank! Ich habe total vergessen, dass die Primfaktorzerlegung von den Elementarteilern das entscheidende ist und nicht die es charakteristischen Polynoms. Mmm Denkfehler. Na ja mach mich dann gleich mal ran.
Frank
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OK dann wollen wir mal:
Also nachdem ich bei den Teilern so gepennt habe, komme ich jetzt auf folgendes:
Bei (i) ist ja schon in der Antwort alles gelöst worden (Danke Stefan!!!).
Bei (ii) habe ich jetzt folgendes:
Da haben wir ja 6 mögliche Mengen, also
Für $ [mm] \{(x+1)^2(x-1)^3\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix} [/mm]
die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x+1),(x+1)(x-1)^3\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix} [/mm]
die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x+1)(x-1),(x+1)(x-1)^2\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix} [/mm]
die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x-1),(x+1)^2(x-1)^2\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix} [/mm]
die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x-1),(x-1),(x+1)^2(x-1)\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
die Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x-1),(x-1)(x+1),(x-1)(x+1)\} [/mm] $
allgemeine Normalform und Jordansche Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
zu (iii) habe ich nun 4 mögliche Mengen gefunden (Ich hoffe ich habe keine vergessen!!!). Hier kann es aber bei allen Mengen immer nur eine allgemeine Normalform geben, da das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Für $ [mm] \{(x+1)^2(x^2+1)^2\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x+1),(x+1)(x^2+1)^2\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x^2+1),(x+1)^2(x^2+1)\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Für $ [mm] \{(x+1)(x^2+1),(x+1)(x^2+1)\} [/mm] $
allgemeine Normalform:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
So das wärs gewesen. Glaube ich zumindest. Wäre super nett von euch, wenn noch mal jemand schauen könnte, ob das stimmt oder ob ich noch was vergessen habe. Ist ja schließlich Ende vom Sommersemester und da kommt so was ja schon mal öfters vor.
Frank
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Hey Stefan,
ich möchte mich noch mal ganz herzlich bei dir bedanken. Am Montag gehen die ersten zu der Befragung. Man das wäre echt ein böses Erwachen geworden. Na ja jetzt wahrscheinlich nicht mehr.
Vielen Dank noch mal und noch ein schönes WE.
Frank
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