charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 28.11.2011 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] : [mm] \Omega \to \IR [/mm] unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte [mm] f_{X_1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\bruch{1}{1+x^2}. [/mm] Bestimmen Sie (mittels der charakteristischen Funktion) die Verteilung der Zufallsvariablen Z = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] |
Hallo,
ich habe zu der Aufgabe Fragen bezüglich der Vorgehensweise.
1) entspricht die charakteristische Funktion hier der Fourier-Transformierten?
2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?
Vielen Dank schon im Voraus für alle Hilfen!
|
|
| |
|
> Seien [mm]X_1,[/mm] ..., [mm]X_n[/mm] : [mm]\Omega \to \IR[/mm] unabhängige und
> identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte [mm]f_{X_1}(x)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}\bruch{1}{1+x^2}.[/mm] Bestimmen Sie (mittels
> der charakteristischen Funktion) die Verteilung der
> Zufallsvariablen Z = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe zu der Aufgabe Fragen bezüglich der
> Vorgehensweise.
>
> 1) entspricht die charakteristische Funktion hier der
> Fourier-Transformierten?
Ja
[mm]\varphi_{X}(t):=\mathbb{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)=\int_{\Omega}e^{\mathrm{i}tX}\,\mathrm{d}P\[/mm]
> 2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?
Für unabhängige ZV [mm]X_1,X_2[/mm] mit [mm]Y=X_1+X_2[/mm] gilt doch
[mm]\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 28.11.2011 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank soweit!
> > 2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?
> Für unabhängige ZV [mm]X_1,X_2[/mm] mit [mm]Y=X_1+X_2[/mm] gilt doch
>
> [mm]\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,[/mm]
>
>
Okay, dann habe ich die charakteristische Funktion für die Variable Z. Jetzt brauche ich noch die Verteilung. Wie komme ich da hin?
|
|
|
| |
|
Spezialfall (2 ZV):
Es handelt sich übrigens um die Cauchyverteilung(Zentrum = 0,Breitenparameter=1).
Du solltest
[mm]\mathbb{E}[e^{\mathrm{i}tX_i}]=e^{-|t|}[/mm].
berechnen.
Für zwei stoch. unabhängige Zufallsvariablen [mm]X_1,X_2[/mm] (cauchyverteilt) und [mm]Y:=\frac{X_1+X_2}{2}[/mm]
gilt
[mm]\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}t(X_1+X_2)}{2}}]=\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}tX_1}{2}}]*\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}tX_2}{2}}]=\ldots[/mm]
nur ausrechnen.
|
|
|
|
