charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich habe ein großes Problem mit einer Aufgabe zur Klausurvorbereitung.
[mm] X_{1}, X_{2}... [/mm] seien unabhängige, exponentiell mit Parameter o > 0 verteilt. Berechnen Sie die charakteristische Funktion von [mm] (X_{1} [/mm] + ... + [mm] X_{N})/N. [/mm] Bestimmen Sie lim N->oo! Welche Bedeutung hat Ihr Resultat? |
Leider komme ich hier überhaupt nicht weiter... Stehe total auf dem Schlauch... Schreibe am Mittwoch Klausur und finde leider auch keinen Ansatz in den Übungszetteln und auch nicht im Script...
Falls jemand einen Ansatz hat wäre ich super dankbar
@CaNi, kann es sein das wir die selbe Klausur schreiben? :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Steffi,
wie ist die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen X denn definiert? Das wäre erstmal der Anfang.
Dann: Wie sieht die charakteristische Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable aus? Das habt ihr bestimmt gemacht und die gängigsten Verteilungen sollte man kennen.
Wenn du in deinem Skript nichts findest, kommst du mit beiden Fragen auch bei Wikipedia weiter.
Und dann geht es auch schon los mit der Berechnung der charakteristischen Funktion von [mm] $\bruch{1}{N}\left(X_1 + \ldots + X_N\right)$ [/mm] .
Die Unabhängigkeit wirst du wohl auch irgendwo benutzen müssen.
Gruß,
Gono.
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| Aufgabe | | [mm] \varphi_X(t) [/mm] = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x). [/mm] |
Erstmal danke! Also das ist meines Wissens die gängige Beschreibung der charakteristischen Funktion.
Die Exponentialverteilung kenne ich als
[mm] f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle
\lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}
[/mm]
und in Wiki steht die charakteristische Funktion der exp.verteilung sei:
[mm] \phi_{X}(t) [/mm] = [mm] \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}.
[/mm]
Wobei ich nicht ganz verstehe wieso bzw. wie man darauf kommt? Oder muss man das einfach auswendig wissen?...
Aber was meinst du mit jetzt geht es los berechen :(
[mm] \bruch{1}{N} [/mm] * [mm] \phi_{X}(t) [/mm] = [mm] \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}. [/mm] ???
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Hiho,
> [mm]\varphi_X(t)[/mm] = [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x).[/mm]
Na das ist ja eine komplizierte Definition.
Da gefällt mir die Definition
[mm] $\varphi_X(t) [/mm] = [mm] E\left[e^{itX}\right]$
[/mm]
doch viel besser, auch wenn es natürlich das gleiche ist bei bedeutend weniger Schreibaufwand.
> Erstmal danke! Also das ist meines Wissens die gängige Beschreibung der charakteristischen Funktion.
Na "gängig" würde ich das jetzt nicht nennen, die "gängige" Beschreibung hab ich dir ja oben hingeschrieben 
> Die Exponentialverteilung kenne ich als
> [mm]f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle
\lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}[/mm]
Ich würde dich jetzt ja mal fragen, was du da hingeschrieben hast, aber da du etwas in Zeitnot bist: Das ist nicht die charakteristische Funktion, sondern die Dichte der Exponentialverteilung!
Diese charakterisiert natürlich ebenfalls die Verteilung.
Eine weitere Möglichkeit wäre die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung.
Und eine dritte Möglichkeit eine Verteilung zu beschreiben, ist eben die charakteristische Funktion.
Alle drei Dinge beschreiben eine Verteilung eindeutig.
> und in Wiki steht die charakteristische Funktion der exp.verteilung sei:
> [mm]\phi_{X}(t)[/mm] = [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}.[/mm]
Dann ist das wohl korrekt.
> Wobei ich nicht ganz verstehe wieso bzw. wie man darauf kommt?
Indem man den Erwartungswert [mm] $E\left[e^{itX}\right]$ [/mm] einfach mal ausrechnet.
Dazu muss man natürlich wissen, wie man Erwartungswerte der Form [mm] $E\left[f(X)\right]$ [/mm] für meßbare Funktionen f berechnet, sofern man die Dichte der Zufallsvariablen X kennt.
Wie berechnet man sowas denn?
> Oder muss man das einfach auswendig wissen?...
Muss man nicht, aber das spart einem sicherlich einiges gerechne.
> Aber was meinst du mit jetzt geht es los berechen :(
>
> [mm]\bruch{1}{N}[/mm] * [mm]\phi_{X}(t)[/mm] =
> [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}.[/mm] ???
Autsch!
Ich hatte dir ja oben bereits hin geschrieben, wie die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen berechnet wird.
Du sollst nun die Charakteristische Funktion der Zufallsvariablen
$Z = [mm] \bruch{1}{N}\left(X_1 + \ldots + X_N\right)$ [/mm] berechnen. Also geht es los mit:
[mm] $\varphi_Z(t) [/mm] = [mm] E\left[e^{itZ}\right] [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Nun du (auch wenn du bis auf Einsetzen und ein bisschen Umformen nicht viel zu tun hast....)
Gruß,
Gono.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm, auch wenn du mich für doof halten wirst... Ich verstehe einfach nicht was du meinst :( Du hast dir echt super viel Mühe gegeben, dafür auf jeden Fall danke!!!
zum einen, wenn ich $ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x). $ hier für X die Dichtefunktion für die Exponentialverteilung einsetze und integriere und auflöse würde $ \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}. $ rauskommen? das kann ich mir ja gar nicht vorstellen, wäre ja e^e^x. Prinzipiell berechnet man den Erwartungswert der Expfkt ja mit \integral_{a}^{b} x* \lambda{\rm e}^{-\lambda x}
Nun schreibst du Z = 1/N (X_{1}, X_{2}....)
dann wäre
$ \varphi_Z(t) = E\left[e^{itZ}\right] = \integral_{a}^{b}x * e^{itZ} dx} = \bruch{1}{1+it} $ ??
bin anscheinend zu doof -.- sorry für mein unverständniss...
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Hiho,
> zum einen, wenn ich [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x).[/mm] hier für X die Dichtefunktion für die Exponentialverteilung einsetze und integriere und auflöse würde [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}.[/mm] rauskommen?
Ja. Rechne es doch einfach mal nach!
> das kann ich mir ja gar nicht vorstellen, wäre ja [mm]e^e^x.[/mm]
Wie kommst du denn darauf? Du musst natürlich auch korrekt einsetzen!
Es gilt doch bei gegebener Dichtefunktion f(x) die Gleichheit
[mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} f(x) \mathrm{dx}[/mm]
Und nicht, wie dein Kommentar vermuten lässt etwas
[mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tf(x)} \mathrm{dx}[/mm]
> Prinzipiell berechnet man den Erwartungswert der Expfkt ja mit [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] x* [mm]\lambda{\rm e}^{-\lambda x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, den Erwartungswert von X, also E[X].
Analog berechnet man eben den Erwartungswert von E[e^{itX}] mit
$\integral_{a}^{be^{itx}* \lambda{\rm e}^{-\lambda x} \mathrm{dx}$
Du solltest dringend Grundlagen nacharbeiten!
> Nun schreibst du Z = 1/N [mm](X_{1}, X_{2}....)[/mm]
Es muss heißen:
$Z = [mm] \bruch{1}{N}\left(X_{1}+ X_{2}+ \ldots + X_N\right)$
[/mm]
Und verwende doch bitte auch für Brüche den Formeleditor. Sieht doch viel schöner aus 
> dann wäre
> [mm]\varphi_Z(t) = E\left[e^{itZ}\right] = \integral_{a}^{b}x * e^{itZ} dx} = \bruch{1}{1+it} [/mm]
> ??
Wie kommst du denn darauf? Du musst für die Aufgabe keine Integrale lösen, du sollst nur einsetzen und umstellen:
[mm] $\varphi_Z(t) [/mm] = [mm] E\left[e^{itZ}\right] [/mm] = [mm] E\left[e^{it\bruch{1}{N}\left(X_{1}+ X_{2}+ \ldots + X_N\right)}\right] [/mm] = [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}+ i\bruch{t}{N}X_{2}+ \ldots + i\bruch{t}{N}X_N}\right]$
[/mm]
Nun:
Potenzgesetze der e-Funktion, Produkt aus dem Erwartungswert ziehen (warum geht das?), Definition der char. Funktion benutzen und verwenden, dass du die char. Funktion für jedes der [mm] X_i [/mm] kennst.
> bin anscheinend zu doof -.- sorry für mein unverständniss...
Dir scheinen einfach massiv die Grundlagen zu fehlen. Die solltest du nacharbeiten. Unverständnis bekommt man behoben, wenn man daran arbeitet
Gruß,
Gono.
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Ohje... du hast dir wirklich sehr viel Mühe geben!!! Sollte mehr Mathe Profis wie dich geben ;) Ja ich studiere eigentlich Wirtschafts-Info und habe Mathe nur als Nebenfach deshalb vllt meine Mangelndes Grundwissen...
aber nun zur Aufgabe!
$ [mm] \varphi_Z(t) [/mm] = [mm] E\left[e^{itZ}\right] [/mm] = [mm] E\left[e^{it\bruch{1}{N}\left(X_{1}+ X_{2}+ \ldots + X_N\right)}\right] [/mm] = [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}+ i\bruch{t}{N}X_{2}+ \ldots + i\bruch{t}{N}X_N}\right] [/mm] $ = [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}} * e^{i\bruch{t}{N}X_{2}} \ldots * e^{i\bruch{t}{N}X_{1}}\right] [/mm] = (da unabhängig) [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}}\right] [/mm] * [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{2}}\right] [/mm] * [mm] \ldots [/mm] * [mm] E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{N}}\right] [/mm] = $ [mm] \varphi_X_{1}(t) [/mm] * $ [mm] \varphi_X_{2}(t) \Idots [/mm] * [mm] \varphi_X_{N}(t) [/mm]
Ist das etwa nun die Lösung?! :D Falls ja danke ich dir unendlich... Habe wenigstens nun das Prinzip verstanden was man da überhaupt machen muss!!!!
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Hiho,
> [mm]\varphi_Z(t) = E\left[e^{itZ}\right] = E\left[e^{it\bruch{1}{N}\left(X_{1}+ X_{2}+ \ldots + X_N\right)}\right] = E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}+ i\bruch{t}{N}X_{2}+ \ldots + i\bruch{t}{N}X_N}\right][/mm]
> = [mm]E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}} * e^{i\bruch{t}{N}X_{2}} \ldots * e^{i\bruch{t}{N}X_{1}}\right][/mm]
> = (da unabhängig) [mm]E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{1}}\right][/mm] *
> [mm]E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{2}}\right][/mm] * [mm]\ldots[/mm] *
> [mm]E\left[e^{i\bruch{t}{N}X_{N}}\right][/mm]
Hier hierhin alles Super und sehr erfreulich, dass du dir endlich Zeit und Konzentration zu nehmen scheinst
> [mm] = \varphi_X_{1}(t) * \varphi_X_{2}(t) \Idots[/mm] * [mm]\varphi_X_{N}(t)[/mm]
Hier unterläuft dir ein kleiner Fehler.
Es gilt ja: [mm] $\varphi_X_{1}(t) [/mm] = [mm] E\left[e^{itX_1}\right]$
[/mm]
Da steht ja aber [mm] $E\left[e^{i\left(\bruch{t}{N}\right)X_1}\right]$, [/mm] also ist das nicht [mm] $\varphi_X_{1}(t)$, [/mm] sondern?
> Ist das etwa nun die Lösung?!
Noch nicht, aber wir sind einen großen Schritt weiter gekommen.
Wie sind denn die [mm] X_i [/mm] verteilt?
Wie sehen also die [mm] $\varphi_X_{i}$ [/mm] alle aus?
Einsetzen!
> :D Falls ja danke ich dir
Na dann kann ich wohl keine Dankbarkeit von dir erwarten.....
Gruß,
Gono.
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Ach doch noch ein Denkfehler -.-
$ = [mm] \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) [/mm] ... [mm] \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) [/mm] ) $
und natürlich danke ich dir trotzdem unendlich :D ... falls es nun stimmt ;)
hm also die [mm] X_{i} [/mm] sind unabhängig und exponentiell verteilt
da die char. Fkt der exponential Verteilung $ [mm] \phi_{X}(t) [/mm] $ = $ [mm] \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}. [/mm] $ ist
müsste $ [mm] \phi_{X}(bruch{t}{N}) [/mm] $ = $ [mm] \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}}. [/mm] $ sein?
dann wäre
$ = [mm] \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) [/mm] ... [mm] \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) [/mm] ) $ = $ [mm] \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}} [/mm] $ *N ?? hmm blick es schon wieder nicht so richtig -.-
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Hiho,
> Ach doch noch ein Denkfehler -.-
>
> [mm]= \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) ... \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) )[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und natürlich danke ich dir trotzdem unendlich :D ...
> falls es nun stimmt ;)
>
> hm also die [mm]X_{i}[/mm] sind unabhängig und exponentiell
> verteilt
>
> da die char. Fkt der exponential Verteilung [mm]\phi_{X}(t)[/mm] =
> [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}.[/mm] ist
>
> müsste [mm]\phi_{X}(\bruch{t}{N})[/mm] = [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}}.[/mm] sein?
> dann wäre
> [mm]= \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) ... \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) )[/mm]
> = [mm]\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}}[/mm] *N
Na jetzt überlegen wir an der Stelle nochmal, was [mm] \underbrace{x+x+\ldots+x}_{\text{N-mal}} [/mm] und was [mm] \underbrace{x*x*\ldots*x}_{\text{N-mal}} [/mm] ist.
Gruß,
Gono.
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hmpf... ok
= [mm] \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) [/mm] ... [mm] \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) [/mm] = [mm] (\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm]
danke danke danke das du so geduldig mit mir warst... / oder noch immer bist :D
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Hiho,
> hmpf... ok
>
> = [mm]\varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N})[/mm]
> ... [mm]\cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N})[/mm] =
> [mm](\frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm]
Das sieht doch schon besser aus.
Zwei Dinge aber noch:
1.) In der Aufgabenstellung kommt gar kein [mm] \lambda [/mm] vor!
2.) Dir fehlt noch der letzte Schritt der Aufgabe.
Gruß,
Gono.
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= $ [mm] \varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N}) [/mm] $ ... $ [mm] \cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N}) [/mm] $ =
> $ [mm] (\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $
und für [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] geht das Ganze gegen 1 und hat die Bedeutung?!?! Vielleicht das für große N der Erwartungswert gegen 1 geht? also quasi das unendlich viele wiederholungen irgendwann zu dem gewünschten Ergebnis führen?
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Hiho,
> = [mm]\varphi_X_{1}(\bruch{t}{N}) \cdot{} \varphi_X_{2}(\bruch{t}{N})[/mm]
> ... [mm]\cdot{} \varphi_X_{N}(\bruch{t}{N})[/mm] =
> > [mm](\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm]
>
> und für [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm] geht das Ganze gegen 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da solltest du mal explizit nachrechnen. Wie kommst du drauf, dass das gegen 1 geht?
Gruß,
Gono.
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$ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $
wenn man den limes reinzieht $ [mm] (\frac{o}{o-\operatorname{i}\limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{t}{N}}) [/mm] $ geht doch das ganze i * [mm] \operatorname{i}\limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 und somit das Ganze gege [mm] \bruch{o}{o} [/mm] und das N mal gegen 1? oder ist da ein Fehler? Meine "Bedeutung" stimmt dann wohl auch nicht :(
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Hiho,
> wenn man den limes reinzieht
du kannst doch nicht den Grenzwert reinziehen, wenn "außen" dein Laufindex ebenfalls noch existiert.
Nach deiner Theoerie müsste ja auch [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] gegen 1 laufen, tut es aber leider nicht.
Der Wert in der Klammer wird zwar immer kleiner, aber das n außen macht es doch aber immer größer.
Letztendlich benötigst du für die Berechnung des Grenzwerts das Wissen, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty} \left(1 + \bruch{x}{n}\right)^n [/mm] = [mm] e^x$ [/mm] gilt.
Bekommst du damit den Grenzwert selber ausgerechnet?
Tipp: Betrachte mal den Kehrwert des Bruchs!
Gruß,
Gono.
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dann müsste $ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{1}{1+\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{e^it} [/mm] sein
$ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{1}{1-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $ = [mm] \bruch{-1}{e^it} [/mm] ???
$ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $ = [mm] \bruch{-o}{e^it} [/mm] ???
:(
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Hiho,
> dann müsste [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm](\frac{1}{1+\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{e^it}[/mm] sein
Denke aber dran, Exponenten in geschweifte Klammern zu setzen, dann steht da auch das richtige Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{e^{it}}
[/mm]
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm](\frac{1}{1-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{e^it}[/mm] ???
>
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm](\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm] =
> [mm]\bruch{-o}{e^it}[/mm] ???
Warum fängst du nicht direkt mit dem zu zeigenden Bruch an?
Tipp: Klammer unten o aus und kürze! Dann solltest du im Vergleich mit oben das richtige Ergebnis sehen.
Wenn du es jetzt nicht hinbekommst, verrate ich es dir auch. Aber gib dir mal Mühe
Gruß,
Gono.
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$ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] $ $ [mm] (\frac{1}{1-\bruch{it}{oN}})^{N} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-1}{e^it} [/mm] $ aber wohin mit dem o :D stat der -1? also
= $ [mm] \bruch{-o}{e^it} [/mm] $ hmmmmm verdammt :D
außerdem, egal wo das o nun hin kommen sollte, verstehe ich auch nicht was das uns sagen soll dass dieser Grenzwert genau derjenige ist...
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Hiho,
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm](\frac{o}{o-\operatorname{i}\bruch{t}{N}})^{N}[/mm] =
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm](\frac{1}{1-\bruch{it}{oN}})^{N}[/mm]
bis hierhin super, ein kleiner Umformungsschritt liefert uns doch:
$= [mm] \limes_{N\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{1+\bruch{\bruch{-it}{o}}{N}}\right)^{N} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{-\bruch{it}{o}}} [/mm] = [mm] e^{it\bruch{1}{o}}$
[/mm]
Schwere Geburt.
Nun wissen wir also mal zusammengefasst:
Sei [mm] $Z_N [/mm] = [mm] \bruch{1}{N}\left(X_1 + \ldots + \X_N\right)$
[/mm]
Wir haben jetzt also gezeigt:
[mm] $\lim_{N\to\infty}\varphi_{Z_N}(t) [/mm] = [mm] e^{it\bruch{1}{o}} [/mm] = [mm] E\left[e^{it\bruch{1}{o}}\right] [/mm] = [mm] \varphi_{\bruch{1}{o}}(t)$
[/mm]
Die charakteristischen Funktionen der [mm] Z_n [/mm] konvergieren also gegen eine charakteristische Funktion von der (konstanten) Zufallsvariable [mm] $\bruch{1}{o}$
[/mm]
Also konvergieren die [mm] Z_N [/mm] wie wogegen? Und was ist denn [mm] $\bruch{1}{o}$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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ohman, diese vielen "kleinen" Umformungen treiben mich in den Wahnsinn... Der Thread ist schon so lange ich musste erst noch einmal nachlesen was wir überhaupt gemacht haben :D
Also wir haben die charakteristische Funktion von [mm] Z_{N} [/mm] berechnet, bzw. dies umgeformt und haben gezeigt das der limes von [mm] Z_{N} [/mm] = $ [mm] \lim_{N\to\infty}\varphi_{Z_N}(t) [/mm] = [mm] e^{it\bruch{1}{o}} [/mm] = [mm] E\left[e^{it\bruch{1}{o}}\right] [/mm] = [mm] \varphi_{\bruch{1}{o}}(t) [/mm] $ ist.
[mm] \bruch{1}{o} [/mm] ist ja (normalerweise mit [mm] \lambda) [/mm] der Erwartungswert der Exponentialverteilung? Also konvergiert Z-{N} gegen genau diesen. Aber wie und wo?
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Hiho,
> [mm]\bruch{1}{o}[/mm] ist ja (normalerweise mit [mm]\lambda)[/mm] der
> Erwartungswert der Exponentialverteilung? Also konvergiert Z-{N} gegen genau diesen.
Und falls ihr das schon gehabt habt, ist das gerade die gleiche Aussage, wie beim starken Gesetz der großen Zahlen.
> Aber wie und wo?
Na welche Konvergenzart liegt vor.
Beim starken Gesetz der großen Zahlen bspw. haben wir gerade fast sichere Konvergenz, diese liegt hier aber nicht vor.
Welche Konvergenzarten kennst du denn in der Stochastik?
Gruß,
Gono.
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"fast sicher", wie du schon gesagt hast, "in Verteilung" kenne ich noch beim zentralen Grenzwertsatz. Ich glaube es gibt noch eine 3. "stochastische Konvergenz"?...
Wenn ich raten müsste würde ich sagen in Verteilung, aber Begründung mal wieder nischts...
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Hiho,
> "fast sicher", wie du schon gesagt hast, "in Verteilung"
> kenne ich noch beim zentralen Grenzwertsatz. Ich glaube es
> gibt noch eine 3. "stochastische Konvergenz"?...
> Wenn ich raten müsste würde ich sagen in Verteilung,
> aber Begründung mal wieder nischts...
Musst du auch nicht. Man muss halt wissen, dass Konvergenz der char. Funktionen Konvergenz in Verteilung bedeutet. Und umgekehrt.
Damit hätten wir ja alles, oder?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Steffi8989 |
puh, wenn du das sagst :D muss erstmal alles zusammen suchen und sauber aufschreiben.
Vielen Vielen Dank an deine unermütliche Hilfe... Andere wären wohl durchgedreht mit mir :D
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