charakteristische Funktion ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
könnte mir mal jemand in möglichst einfachen Worten erklären, was genau die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen ist? Bei meiner Suche habe ich nur höchst abstrakte Definitionen gefunden oder so chinesische Sätze wie "die c.F. ist die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung von X", was allerdings auch daran liegt, dass ich das Konzept der Fourier-Transformation schon sehr schwer verständlich finde.
In meiner zweiten Frage geht es nur um eine kleine Folgerung aus einer Aufgabenstellung zu diesem Thema:
Warum gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} |e^{iux}|*|e^{-x/\sigma}| [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x/\sigma}
[/mm]
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Hallo infostudent,
> könnte mir mal jemand in möglichst einfachen Worten
> erklären, was genau die charakteristische Funktion einer
> Zufallsvariablen ist?
Sie ist ein Hilfsmittel, dass stark an die Fouriertransformation anknüpft.
Man benutzt charakteristische Funktionen zum Beweis für den zentralen Grenzwertsatz.
> Bei meiner Suche habe ich nur höchst
> abstrakte Definitionen gefunden oder so chinesische Sätze
> wie "die c.F. ist die inverse Fourier-Transformierte der
> Verteilung von X", was allerdings auch daran liegt, dass
> ich das Konzept der Fourier-Transformation schon sehr
> schwer verständlich finde.
Die Fouriertransformation ist bijektiv und ein lineares Funktional. Durch Anwendung der Fouriertransformation lassen sich viele Zusammenhänge oft einfacher erklären und beweisen. Hilfreich ist zum Beispiel, dass die Fouriertransformation Faltungen in Produkte umwandelt und andersrum (das kann man zum Beispiel zum Beweis der Faltungsformel für Dichten verwenden).
>
> In meiner zweiten Frage geht es nur um eine kleine
> Folgerung aus einer Aufgabenstellung zu diesem Thema:
>
> Warum gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} |e^{iux}|*|e^{-x/\sigma}|[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x/\sigma}[/mm]
Unter der Annahme, dass u reell ist folgt stets
[mm] |e^{iux}|=1,
[/mm]
denn die komplexe Zahle [mm] e^{iux} [/mm] liegt auf dem Einheitskreis.
LG
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Begründet man das mit der Umformung [mm] $e^{iux} [/mm] = cos(iux)+isin(iux)$?
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Hallo Infostudent,
> Begründet man das mit der Umformung [mm]e^{iux} = cos(iux)+isin(iux)[/mm]?
Naja, es ist [mm]\left|e^{iux}\right|=1[/mm]
Das kannst du in der Tat mit der obigen Umschreibung sehen (wenn du sie richtig machst)
Es ist [mm]e^{iux}=\cos(ux)+i\sin(ux)[/mm]
Weiter ist für [mm]z=x+iy[/mm] doch [mm]|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
Hier also [mm]\left|e^{iux}\right|=|\cos(ux)+i\sin(ux)|=\sqrt{\cos^2(ux)+\sin^2(ux)}=\sqrt{1}=1[/mm]
Frohe Weihnachten!
schachuzipus
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