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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 So 29.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige, dass jedes polynom der Form p= [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] z + .. + [mm] p_{n-1} z^{n-1} [/mm] + [mm] (-1)^n z^n, [/mm] wobei [mm] p_i \in \IK, [/mm] als charakteristisches Polynom eine Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] auftritt.
Berechne dazu das charakteristische Polynom der Matrix
[mm] A=\pmat{ 0& ..&0&(-1)^{n-1} p_0 \\ 1 & \ddots & \vdots&\vdots \\ &\ddots &0&(-1)^{n-1} p_{n-2}\\&&1&(-1)^{n-1} p_{n-1}}
[/mm]
mittels Induktion nach n. |
Das Charakteristische Polynom berechne ich mit
p = [mm] det(A-z*I_n)
[/mm]
Also ist die Determinante gefragt
[mm] det(\pmat{ 0-z& ..&0&(-1)^{n-1} p_0 \\ 1 & \ddots & \vdots&\vdots \\ &\ddots &0-z&(-1)^{n-1} p_{n-2}\\&&1&(-1)^{n-1} p_{n-1}-z}
[/mm]
Da könnte man entwickeln nach ersten Spalte.
Dann müsse man Induktionsvorrausetung anwenden, aber was ist die Induktionsvorrausetzung??(das polynom oben?)
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> Zeige, dass jedes polynom der Form p= [mm]p_0[/mm] + [mm]p_1[/mm] z + .. +
> [mm]p_{n-1} z^{n-1}[/mm] + [mm](-1)^n z^n,[/mm] wobei [mm]p_i \in \IK,[/mm] als
> charakteristisches Polynom eine Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> auftritt.
> Berechne dazu das charakteristische Polynom der Matrix
> [mm]A=\pmat{ 0& ..&0&(-1)^{n-1} p_0 \\
1 & \ddots & \vdots&\vdots \\
&\ddots &0&(-1)^{n-1} p_{n-2}\\
&&1&(-1)^{n-1} p_{n-1}}[/mm]
>
> mittels Induktion nach n.
> Das Charakteristische Polynom berechne ich mit
> p = [mm]det(A-z*I_n)[/mm]
> Also ist die Determinante gefragt
> [mm]det(\pmat{ 0-z& ..&0&(-1)^{n-1} p_0 \\
1 & \ddots & \vdots&\vdots \\
&\ddots &0-z&(-1)^{n-1} p_{n-2}\\
&&1&(-1)^{n-1} p_{n-1}-z}[/mm]
>
> Da könnte man entwickeln nach ersten Spalte.
>
> Dann müsse man Induktionsvorrausetung anwenden, aber was
> ist die Induktionsvorrausetzung??(das polynom oben?)
Ja die Voraussetzung ist $det(A-zE)=p$
>
Hi,
ich bezeichne mal die Matrix mit
[mm]D_n:=\pmat{ -Z& ..&0&(-1)^{n-1} p_0 \\
1 & \ddots & \vdots&\vdots \\
&\ddots &-Z&(-1)^{n-1} p_{n-2}\\
&&1&(-1)^{n-1} p_{n-1}-z}[/mm]
Berechne doch ein paar Determinanten:
[mm]det(D_1)=(-1)^0p_{0}-Z=p_0-Z[/mm]
[mm]det(D_2)=Z^2+Zp_1+p_0[/mm]
[mm]det(D_3)=-Z^3+Z^2p_2+Zp_1+p_0[/mm]
IAnfang: [mm]det(D_2)=Z^2+Zp_1+p_0[/mm] ist die Determinante und das Polynom ist [mm]p=p_0+p_1Z+Z^2[/mm] (passt also)
IVorauss.: Sei [mm]p=p_0+p_1Z+p_2Z^2+\ldots+p_{n-1}Z^{n-1}+(-1)^nZ^n[/mm] die Determinante von [mm]D_n[/mm].
IBehaupt: Für [mm]n+1[/mm] gilt ist das Polynom [mm]p=p_0+p_1Z+p_2Z^2+\ldots+p_{n-1}Z^{n-1}+p_nZ^n(-1)^{n+1}Z^{n+1}[/mm] die Determinante von [mm]D_{n+1}[/mm]
ISchritt: [mm] $det(D_{n+1}=\alpha det(D_n)+\ldots$ [/mm] Hier musst du die Determinante von [mm] $D_{n+1}$ [/mm] so geschickt ausrechnen, sodass irgendwo [mm] $det(D_n)$ [/mm] wieder auftaucht, um da die Induktionsvoraussetzung zu verwenden.
gruß
wieschoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 29.04.2012 | | Autor: | sissile |
Danke hab es gerade geschafft.
Liebe Grüße
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