charakteristische funktion < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 17.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
Hallöchen,
ich habe schwierigkeiten beim theoretischen verständnis zur charakteristischen funktion. Ich verstehe einfach nicht wozu dieser benutzt wird was man damit zeigen möchte was denn das ziel ist. Die definition hilft mir nicht. In meinem skript steht nur dass die charakt. Funktion ein geschicktes hilfsmittel ist... Doch wofür denn genau, wann brauche ich sie denn?Und wie wende ich sie an?
In wiki steht das er bei der herleitung des zentralen grenzwertsatzes für unabh. Zufallsvariablen eine rolle spielt... Aber ich verstehe den hintergrund einfach nicht.
Im skript sind weiterhin ein beispiel für die exponentialfkt gegeben aber da ich die theorie nicht verstanden habe wollte ich euch mal fragen.
Lieben gruß
howtoadd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die charakteristische Funktion einer Vtlg charakterisiert (daher der Name) diese eindeutig.
Das erlaubt Konvergenzaussagen:
D.h. [mm] $(X_n)_{n\in\IN}$ [/mm] geht gegen Y in Verteilung genau dann, wenn [mm] $\varphi_{X_n}(s)\to \varphi_Y(s)$
[/mm]
Dies ist teilweise leichter als der direkte Weg, weil die char. Funktion einige schöne Eigenschaften hat (glm stetig, beschränkt, etc) und sich die Faltung extrem einfach handhaben läßt:
[mm] $\varphi_{X+Y}(s)=\varphi_X(s)+\varphi_Y(s)$
[/mm]
Auch kann man mit ihr oft sehr einfach Momente berechnen, die direkt sehr schwer sind.
Es gibt wenig Fälle, wo die char. Funktion das Standardinstrument zur Lösung eines Problems darstellt, deswegen ist es schwer generelle Beispiele zu geben. Sie ist mehr der letzte Pfeil im Köcher, wenn alles andere versagt. (Wegen der Sichtweise ist sie teilweise etwas unterbenutzt. Gerade bei der Berechnung von EW könnten sich Studenten teilweise einiges an Zeit sparen. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 17.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
Vielen Dank für die Antwort!
Nun habe ich noch weitere Fragen, denn wenn die charakteristische Funktion nun die Verteilung charakterisiert, auf welche Art und weise tut sie das denn? Also, was sagt mir dann das Ergebnis aus? Ganz blöd mal gefragt, wenn ich (beispiel aus dem skript):
die poissonverteilung habe, und nun mit der charakteristischen Funktion multipliziere (so wie ich das verstehe...) dann habe ich am ende sowas hier stehen:
... = exp [mm] (\lambda [/mm] * ( [mm] e^{it} [/mm] - 1 ))
mir fehlt jetzt die erklärung, was die charakteristische Funktion sozusagen hier bezweckt hat. Was kann ich mit dieser Aussage anfangen, könnte ich zum bespiel anhand dieser funktion nun etwas in einen koordinaten system zeichnen?? In meinem Skript ist keine erklärung, wahrscheinlich ist das aus dieser rechnung zu sehen... aber ich erkenne leider nichts :((
lieben gruß
howtoadd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Di 18.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> die poissonverteilung habe, und nun mit der
> charakteristischen Funktion multipliziere (so wie ich das
> verstehe...) dann habe ich am ende sowas hier stehen:
> ... = exp [mm](\lambda[/mm] * ( [mm]e^{it}[/mm] - 1 ))
>
> mir fehlt jetzt die erklärung, was die charakteristische
> Funktion sozusagen hier bezweckt hat. Was kann ich mit
> dieser Aussage anfangen,
Ich will dein Beispiel einmal aufgreifen. Angenommen $X_$ und $Y_$ sind unabhaengig Poisson-verteilt mit Parametern [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$, [/mm] und man moechte die Verteilung von $X+Y_$ bestimmen. Das geht beispielsweise mit dem Faltungssatz, ist aber muehsam. Es gilt aber die Aussage (schlampig aufgeschrieben):
Fuer zwei unabhaengige Zufallsvariablen mit c.F. [mm] $\psi_1(t)$ [/mm] und [mm] $\psi_2(t)$ [/mm] ist die c.F. von $X+Y$ gegeben durch [mm] $\psi(t)=\psi_1(t)\psi_2(t)$.
[/mm]
Fuer das obige Beispiel folgt, dass die c.F. gegeben ist durch
[mm] $\exp(\lambda(e^{it}-1 ))\exp(\mu(e^{it}-1 ))=\exp((\lambda+\mu)(e^{it}-1 [/mm] ))$.
Da eine c.F. die Verteilung eindeutig festlegt, folgt, dass $X+Y$ Poisson-verteilt ist mit dem Parameter [mm] $\lambda+\mu$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Di 18.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
danke!
aaaber... :)
also... mich irrititiert nun der von dir angegeben + [mm] \mu
[/mm]
da dieser bei mir ja nicht auftaucht...
daher stelle ich mal exakt rein, was bei mir im skript zu sehen ist:
Die Poissonverteilung ist für [mm] \lambda>0 [/mm] und [mm] n\in \IN [/mm] gegeben durch die Wahrscheinlichkeit [mm] p_n [/mm] = [mm] e^{-\lambda} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^n }{n!} [/mm] . Damit folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] e^(itn) * [mm] e^-\lambda [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^n }{n!} [/mm]
= [mm] e^-\lambda [/mm] * exp( [mm] \lambda [/mm] * e^(-it)
= [mm] exp(\lambda [/mm] *(e^(-it) -1)).
So wie ich das verstanden habe ist hier ja nicht die unabhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] gefragt gewesen... oder ich bin einfach blind.
Was mich nun interessiert ist, was für einen Zweck denn die anwendung der c.F. hier hatte....
was sagt mir nun mein ergebnis? irgendwie macht es noch nicht klick bei mir :((( ich erkenne hier keinen sinn dahinter. ich kann mittlerweile nachvollziehen, dass die c.F. nun bestimmte eigenschaften hat, die nützlich sind..... aber helfen tut es mir nicht....
bitte hilft mir!
lieben gruß
howtoadd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 18.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Sei [mm] $\psi [/mm] die charak. Fkt. zur ZV X. Letztere besitze den Erwartungswert m und die Varianz V. Dann gilt:
1. [mm] $\psi(0) [/mm] = 1
2. m = -i * [mm] $\psi'(0)
[/mm]
3. V=- $ [mm] \psi''(0) [/mm] + ($ [mm] \psi'(0))² [/mm] |
Nach der Berechnung der charakteristischen Funktion der Poissonverteilung folgt der obige Satz, den ich nicht verstehe....
könnten wir bitte gemeinsam einfach mal den theoretischen Hintergrund besprechen, und was diese 3 Punkte nun sagen sollen...
Ich würde gerne verstehen, was sie aussagen und ob ich damit, nachdem ich die c.F. berechnet habe nun z.b. den Erwartungswert gemäß punkt 2 berechnen kann... und ist hier mit $ [mm] \psi'(0) [/mm] die erste ableitung der c.F. gemeint???
Lieben Gruß
euer an der charakteristischen Funktion verzweifelten
howtoadd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 18.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
grundsaetzlich ist [mm] $\psi(t)=\text{E}[\exp[itX]]$.
[/mm]
Also ist [mm] $\psi(0)=\text{E}[\exp[i\cdot0\cdot X]]=\text{E}[\exp[0]]=1$.
[/mm]
Fuer die zweite Gleichung argumentiere ich einmal fuer den stetigen Fall,
wobei ich unterstelle, dass das erlaubt ist, was ich tue:
[mm] \begin{matrix}
\psi'(t)&=&\frac{\text{d}}{\text{d}t}\text{E}[\exp[itX]] \\
&=&\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int \exp[itx]f(x)\,dx \\
&=&\int\frac{\text{d}}{\text{d}t} \exp[itx]f(x)\,dx \\
&=&i\int x \exp[itx]f(x)\,dx
\end{matrix}
[/mm]
und somit [mm] $-i\psi'(0)=\int [/mm] x [mm] f(x)\,dx=\text{E}[X]$.
[/mm]
Den dritten Teil machst bitte du...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Do 20.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
Tut mir leid. Aber ich verstehe die aussage nicht
ich möchte gerne die theorie verstehen. Das steht in meinem skript ja auch aber was sagt mir das denn in worten aus?ich kann da nichts draus interpretieren:-((
Mir fehlt der theoretische hintergrund....und die gleichungen sagen mir als nicht mathematiker nichts aus....:-((
Vor allem weiß ich nicht ob man nun mit der charakteristischen funktion zb. Der poissonvtlg nun anhand der genannten 3sätze etwas berechenen kann oder ob nun diese gelten. Denn so verstehe ich einfach nicht den sinn warum ich die charakt.funktion berechne. Das sie hilfreich sein soll weiß ich aber auf welche art und weise?
Lieben gruß
verzweifelter howtoadd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 20.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich habe bereits versucht, dir die Nuetzlichkeit der c.F. im
Zusammenhang mit der Bestimmung der Verteilung der Summe von
unabhaengigen Poissonverteilung nahe zu bringen. Ich mache jetzt einen
letzten Versuch. Sonst muss mal jemand anders uebernehmen.
> Vor allem weiß ich nicht ob man nun mit der charakteristischen funktion
> zb. Der poissonvtlg nun anhand der genannten 3sätze etwas berechenen
> kann oder ob nun diese gelten.
Wenn ich das richtig verstehe, geht es dir darum, etwas zu
berechnen. Angenommen, du moechtest den Erwartungswert der
Poissonverteilung berechnen. Zu Fuss musst du also
[mm] $\text{E}[X]=\sum_{i=0}^\infty\frac{i\lambda^i}{i!}\exp(-\lambda)$
[/mm]
bestimmen. Das ist nicht so einfach. Nun ist mir aber die c.F. der
Poissonverteilung gegeben: [mm] $\psi(t)=\exp(\lambda e^{it}-1)$ [/mm] (die von
dir oben angegebene Form ist falsch). Der zweite Satz besagt, dass
fuer [mm] $m=\text{E}[X]$ [/mm] gilt $m = [mm] -i\psi'(0) [/mm] $. Im Prinzip muss ich also nur
[mm] $\psi$ [/mm] ableiten. Das mache ich 1000mal lieber als obige Summe zu
berechnen. Wenn ich das $i_$ behandle wie eine Konstante erhalte ich
[mm] $\psi'(t)=i\lambda\psi(t)$. [/mm] Eingesetzt in die Formel ergibt sich
[mm] $\text{E}[X]=m=-i\psi'(0)=-i^2\lambda\psi(0)=\lambda$. [/mm] Dabei habe ich die erste Formel [mm] $\psi(0)=1$ [/mm] ausgenutzt.
Die dritte Formel kann dazu dienen, [mm] $\text{Var}[X]=\sum_{i=0}^\infty\frac{(i-\lambda)^2\lambda^i}{i!}\exp(-\lambda)$ [/mm] einfach zu berechnen.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Fr 21.10.2011 | | Autor: | howtoadd |
Vielen dank luis52!!!
Genau das war meine frage! Vielleicht habe ich mich auch nicht konkret genug ausgedrückt aber danke dass du es nochmal versucht hast jetzt ist mir alles klar geworden!
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