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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 17.06.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | <..,..> ist das kanonische Skalarprodukt des [mm] \IR^n [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] V [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Bestimme das charskteristisch polynom von der Spiegelung
[mm] s_v(x):=x-2\*\bruch{}{}\*v [/mm] |
Ich kann gar keine darstellende Matrix für das Problem finden???
Was sehe ich nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 17.06.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Wie wärs mit
$ [mm] s_v(x):=I*x-2*\bruch{}{}*I*v [/mm] $
I ist hier die Einheitsmatrix.
noch etwas umformen und schon müsstest du es raus haben.
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> Hi.
> Wie wärs mit
>
> [mm]s_v(x):=I*x-2*\bruch{}{}*I*v[/mm]
>
> I ist hier die Einheitsmatrix.
> noch etwas umformen und schon müsstest du es raus haben.
Hallo,
könntest Du das etwas genauer erklären?
Ich sehe nicht, wie ich hier durch "etwas umformen" zur Darstellungsmatrix komme. Die Darstellungsmatrix bzgl. welcher Basis meinst Du eigentlich?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:56 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Woaze |
Das bringt mir aber nix:
Ich schreib das jetzt mal für den fall n=2.
[mm] S_v(x)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}-2\bruch{}{}\pmat{ v_1 & 0 \\ 0 & v_2 }
[/mm]
Ich muss es aber auf eine Form bringen die so aussieht:
[mm] S_v(x)=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
Da ist das Problem!
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Hallo,
ich hab' Dir doch unten schon gesagt, wie Du es machen kannst.
Gruß v. Angela
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> <..,..> ist das kanonische Skalarprodukt des [mm]\IR^n[/mm] 0 [mm]\not=[/mm]
> V [mm]\in \IR^n.[/mm]
> Bestimme das charskteristisch polynom von der
> Spiegelung
>
> [mm]s_v(x):=x-2\*\bruch{}{}\*v[/mm]
> Ich kann gar keine darstellende Matrix für das Problem
> finden???
>
> Was sehe ich nicht?
Hallo,
wenn Du eine Darstellungsmatrix aufstellen möchtest, solltest Du Dir erstmal überlegen, bzgl welcher Basis die sein soll.
Ich gehe davon aus, daß Du prinzipiell weißt, wie man die Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen findet.
Du könntest als Basis die Standardbasis nehmen und mit [mm] v:=(v_1,...,v_n) [/mm] könntest Du ja mehr oder weniger problemlos die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung [mm] s_v [/mm] bestimmen.
Du könntest aber auch etwas geschickter ans Werk gehen:
überlege Dir, daß Du den Vektor [mm] \bruch{v}{\wurzel{}} [/mm] durch Vektoren [mm] v_2, [/mm] ... , [mm] v_n [/mm] zu einer Orthonormalbasis des [mm] \IR^n [/mm] ergänzen kannst.
Nun stellst Du die Darstellungsmatrix von [mm] s_v [/mm] bzgl dieser Basis auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Woaze |
Danke für die Antwort.
> Du könntest als Basis die Standardbasis nehmen und mit
> [mm]v:=(v_1,...,v_n)[/mm] könntest Du ja mehr oder weniger
> problemlos die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung
> [mm]s_v[/mm] bestimmen.
Genau da ist ja das Problem
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> Danke für die Antwort.
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> > Du könntest als Basis die Standardbasis nehmen und mit
> > [mm]v:=(v_1,...,v_n)[/mm] könntest Du ja mehr oder weniger
> > problemlos die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung
> > [mm]s_v[/mm] bestimmen.
>
> Genau da ist ja das Problem
Hallo,
aber wo liegt Dein Problem hierbei?
Wenn Du sagst [mm] v:=\vektor{v_1 \\ \vdots\\v_n}, [/mm] dann kannst Du doch ganz prächtig für [mm] e_1:=\vektor{1 \\ 0\\ \vdots\\0}
[/mm]
[mm] s_v(e_1) [/mm] berechnen.
Ich weise aber auf den zweiten vorgestellen Weg hin: den Gang über eine ONB - welche Du noch nicht einmal explizit angeben mußt. Die bloße Absicherung der Existenz reicht ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Woaze |
Also wenn ich dass mit der kanonischen Basis mach, dann kommt eine sehr komplizierte Matrix raus, deren Determinante sich nicht ohne weiteres bestimmen lässt. Für den Fall n=2 schreib ich sie mal hin.
[mm] S_v(x)=\pmat{ 1-2\bruch{v_1v_1}{} & -2\bruch{v_1v_2}{} \\ -2\bruch{v_2v_1}{} & 1-2\bruch{v_2v_2}{} }\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
Währe nett wenn du das kurz kontrolieren könntest, also ich habs nachgerechnet und da würd's passen.
Mit deiner ONB musst du mir helfen.
Stimmt das so?
[mm] S_v(\bruch{v}{})=v\*(\bruch{1}{\wurzel{}}-2\wurzel{})
[/mm]
[mm] S_v(\bruch{v_i}{})=v_i\*(\bruch{1}{\wurzel{}}-2\bruch{}>}{})=v_i\*(\bruch{1}{\wurzel{}})
[/mm]
Und dann wär die Matrix diagonal und ich kann das charakteristische Polynom bestimmen. Ist das dann gleich dem Minimalpolynom? Die eigenwerte sind ja alle paarweise verschieden also müsste das schon so sein??
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> Also wenn ich dass mit der kanonischen Basis mach, dann
> kommt eine sehr komplizierte Matrix raus, deren
> Determinante sich nicht ohne weiteres bestimmen lässt. Für
> den Fall n=2 schreib ich sie mal hin.
>
> [mm]S_v(x)=\pmat{ 1-2\bruch{v_1v_1}{} & -2\bruch{v_1v_2}{} \\ -2\bruch{v_2v_1}{} & 1-2\bruch{v_2v_2}{} }\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> Währe nett wenn du das kurz kontrolieren könntest, also ich
> habs nachgerechnet und da würd's passen.
Hallo,
das sieht mir auf den ersten Blick richtig aus, ich reiße mich allerdings auich nicht darum, das charakteristische Polynom auszurechnen.
Aber das Berechnen der darstellenden Matrix bzgl. der Standardbasis funktioniert ohne große Mühe, das ist die Lehre, die wir erstmal mitnehmen können.
>
> Mit deiner ONB musst du mir helfen.
> Stimmt das so?
>
> [mm]S_v(\bruch{v}{})=v\*(\bruch{1}{\wurzel{}}-2\wurzel{})[/mm]
Laß uns nachrechnen. Ich würde aber den Vektor $ [mm] \bruch{v}{\wurzel{}} [/mm] $ als erstan Basisvektor verwenden, zwingend ist das nicht, aber es ist ein Einheitsvektor, und das ist bequem.
Es ist ja $ [mm] s_v(x):=x-2*\bruch{}{}*v [/mm] $.
Also:
[mm] s_v( \bruch{v}{\wurzel{}} [/mm] ):= [mm] \bruch{v}{\wurzel{}} -2*\bruch{}} >}{}*v
[/mm]
= [mm] \bruch{v}{\wurzel{}} -2*\bruch{}}*v
[/mm]
[mm] =(-1)*\bruch{v}{\wurzel{}}, [/mm] also wäre die erste Spalte der darstellenden Matrix bzgl. der ONB (v, [mm] v_2, ...v_n) \vektor{-1\\ 0\\\vdots\\0}.
[/mm]
>
> [mm]S_v(\bruch{v_i}{})=v_i\*(\bruch{1}{\wurzel{}}-2\bruch{}>}{})=v_i\*(\bruch{1}{\wurzel{}})[/mm]
= [mm] v_i, [/mm] denn wir gehen von einer ONB aus.
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> Und dann wär die Matrix diagonal und ich kann das
> charakteristische Polynom bestimmen.
Genau. Die Matrix hat nur Einträge auf der Diagonalen, und zwar einmal die -1 und ansonsten Einsen. Damit kennst Du das charakteristische Polynom und die Eigenwerte.
> Ist das dann gleich
> dem Minimalpolynom? Die Eigenwerte sind ja alle paarweise
> verschieden also müsste das schon so sein??
Nein, die Eigenwerte sind nicht pw verschieden. Die meisten Eigenwerte sind ja =1.
Übers Minimalpolynom, welches ja in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich gefordert ist, mußt Du noch ein bißcchen nachdenken. Vielleicht findest Du ja einen Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarleit und Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
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