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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 13.11.2006 | | Autor: | AriR |
Hey leute,
kann mir einer vielleicht kurz helfen und zwar verstehe ich nicht genau warum die choleskyzerlegung einer matrix nur dann möglich ist, wenn die matrix positiv definit ist. Was passiert denn, wenn sie das nicht ist?
Danke und gruß ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo AriR!
> Hey leute,
> kann mir einer vielleicht kurz helfen und zwar verstehe
> ich nicht genau warum die choleskyzerlegung einer matrix
> nur dann möglich ist, wenn die matrix positiv definit ist.
> Was passiert denn, wenn sie das nicht ist?
Hast du es mal ausprobiert? Es dürfte halt etwas Falsches rauskommen. Die Cholesky-Zerlegung ist aber auch nur ein Sonderfall ich glaube, von der LR-Zerlegung (oder war es etwas anderes?). Jedenfalls wird bei der Cholesky-Zerlegung irgendwo die Eigenschaft der positiv Definitheit ausgenutzt, so dass man quasi nur eine Hälfte berechnen muss und sich die andere aus ich glaube, der Transponierten ergibt.
Vielleicht hilft dir das ja schon mal.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:35 Di 14.11.2006 | | Autor: | AriR |
ich habs gerade ausprobiert und dann bei dem letzten diagonalelement der linken dreiecksmartrix eine negative wurzel rausbekommen, kannst du mir vielleicht sange, wie man das auf das problem der definitheit übertragen kann? hab eine negativ definite matrix benutzt. sehe irgendwie den zusammenhang nicht.
gruß ari
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Hallo Ari,
Das mit der negativen Wurzel gibt schon einen Anhaltspunkt
Angenommen es gibt eine Cholesky Zerlegung
A=L^TL
Dann gilt
[mm]x^TAx=x^TL^TLx=(Lx)^T(Lx)=y^Ty\ge 0[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Di 14.11.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen danke. hast du viell noch einen link zu einem skript oder sowas, wo man den kompletten beweis nochmal hat?
gruß ari
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Hallo Ari,
> skript oder sowas, wo man den kompletten beweis nochmal
> hat?
Ich würde sagen das ist der komplette Beweis. Aber man kann alles sicher ausführlicher schreiben. Was ist denn unklar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 18.11.2006 | | Autor: | AriR |
also wir hatten in der vorlesung gesagt, dass wenn man eine pos.def. matrix hat, derern cholesky zerlegung existiert.
so wie ich dsa gesehen habe, ist die sache mit der positiv definitheit ein notwendiges aber nicht hinreichendes kriterium. Davon kann es ja eignetlich noch mehr geben, die man dann ja in den voraussetzungen des satzes mit einbringen müsste.
In dem Beweis des Satzes, sehe ich leider auch die stelle nicht, an dem man die pos.def. benutzt.
Hoffe du verstehst ca. was ich meine.
Gruß Ari und danke nochmal
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Hallo Ari,
> also wir hatten in der vorlesung gesagt, dass wenn man eine
> pos.def. matrix hat, derern cholesky zerlegung existiert.
>
> so wie ich dsa gesehen habe, ist die sache mit der positiv
> definitheit ein notwendiges aber nicht hinreichendes
> kriterium. Davon kann es ja eignetlich noch mehr geben, die
> man dann ja in den voraussetzungen des satzes mit
> einbringen müsste.
Es gilt sogar A symm. pos. definit [mm] \gdw [/mm] Cholesky Zerlegung existiert
Du hattest aber ja nach
A symm. nicht pos. definit [mm] \Rightarrow [/mm] Cholesky Zerlegung existiert nicht
Positive Definitheit ist also eine notwendige Bedingung.
> In dem Beweis des Satzes, sehe ich leider auch die stelle
> nicht, an dem man die pos.def. benutzt.
A positiv definit [mm] \gdw x^TAx>0\forall x:\|x\|\not=0 [/mm]
So kenn ich die Definition. Welche kennst Du? Damit beweist die Zeile das [mm] x^TAx\le0 [/mm] Wegen der Regularität von L kann Lx nicht 0 sein wenn x nicht 0 ist. Also gilt x^TAx>0
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 18.11.2006 | | Autor: | AriR |
ich meinte eigentlich den beweis zu folgender äquivalenz, die du auch so eben genannt hast:
A symm. pos. definit [mm] \gdw [/mm] Cholesky Zerlegung existiert
hast du da viell irgendwo was? +g+
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ari!
> ich meinte eigentlich den beweis zu folgender äquivalenz, die du auch so eben genannt hast:
> A symm. pos. definit $ [mm] \gdw [/mm] $ Cholesky Zerlegung existiert
Christian hat den Beweis doch bereits erbracht.
Bekannt ist dir bereits, dass für eine spd-Matrix die Cholesky-Zerlegung existiert. Besitze nun umgekehrt [mm] $A\in {\mathbb R}^{n\times n}$die [/mm] Cholesky-Zerlegung [mm] $A=L\cdot L^T$, [/mm] wobei $L$ eine untere Dreiecksmatrix mit von Null verschiedenen Einträgen auf der Diagonalen sei. Die Symmetrie von $A$ ist dann klar, denn [mm] $A^T [/mm] = [mm] (L\cdot L^T)=(L^T)^T\cdot L^T [/mm] = [mm] L\cdot L^T [/mm] = A$ (hierbei habe ich [mm] $(AB)^T [/mm] = [mm] B^T\cdot A^T$ [/mm] angewandt). Um die positive Definitheit nachzuweisen, müssen wir nun per Definition zeigen, dass für alle [mm] $x\neq [/mm] 0$ stets [mm] $x^T [/mm] A x>0$ gilt. Setzen wir hier [mm] $A=L\cdot L^T$ [/mm] ein, so erhalten wir [mm] $x^T [/mm] A x = [mm] x^T L^T [/mm] L x = [mm] (Lx)^T [/mm] (Lx) = [mm] \|Lx\|^2$. [/mm] Da [mm] $x\neq [/mm] 0$ und die Matrix $L$ regulär ist, d.h. einen trivialen Kern besitzt, ist [mm] $Lx\neq [/mm] 0$, d.h. [mm] $\|Lx\|>0$ [/mm] und daher [mm] $x^T [/mm] A x = [mm] \|Lx\|^2 [/mm] > 0$.
Das war nun sehr ausführlich. Ist's klar geworden?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:35 Sa 18.11.2006 | | Autor: | AriR |
"Bekannt ist dir bereits, dass für eine spd-Matrix die Cholesky-Zerlegung existiert."
eigentlich genau das nicht. verstehe nicht wo man genau in dem beweis die voraussetzung braucht.
und zu deinem beweis der rückrichtung:
du hast ja gesagt, [mm] (Lx)^T(Lx)=\parallel Lx\parallel^2
[/mm]
da hat man doch zusagen die wúrzel aus [mm] (Lx)^T(Lx) [/mm] gezogen und dann als euklidische norm umgeschrieben und noch quadriert, damit gleichhilt gilt, müsste dafür aber nicht [mm] (Lx)^T(Lx)>0 [/mm] sein für alle x ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 24.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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