cos(x) + k * sin(x) = 0 < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 21.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Schönen Samstag abend , habe die Ableitung einer Funktion:
f'(x) = e^(kx) * (cosx + k*sinx)
und nun will ich die Extrma berechnen.
Dazu habe ich dann notiert:
Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor 0 ist
e^(x) = 0 gilt nie
cos(x) + k * sin(x) = 0
wie löst man das denn weiter auf?
danke an euch!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo svenchen!
Klammere den Ausdruck [mm] $\cos(x)$ [/mm] aus und beachte, dass gilt: [mm] $\bruch{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \tan(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 21.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hi Loddar, danke erstmal. Habe deine Frage versehentlich als "nicht beantwortet" markiert, war nur ein Versehen.
also ich habe noch vergessen etwas anzugeben:
0 < k <= 1
und der Graph der Funktion ist im Intervall - pi <=x <=pi.
Die Funktion lautet übrigens fk(x) = e^(kx) * sinx.
mit deinen Angaben habe ich nun:
cos x + k * sinx = 0
cosx (1 + k*sinx * (1/cosx)) = 0
cos x = 0 --> x = pi/2
oder
(1 + k*sinx * (1/cosx)) = 0
k*tanx = -1
wie rechne ich nun weiter, so dass ich die Extremas angeben kann?
vielen dank,
sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Hi Loddar, danke erstmal. Habe deine Frage versehentlich
> als "nicht beantwortet" markiert, war nur ein Versehen.
Hallo Svenchen.
> also ich habe noch vergessen etwas anzugeben:
>
> 0 < k <= 1
> und der Graph der Funktion ist im Intervall - pi <=x <=pi.
>
> Die Funktion lautet übrigens fk(x) = e^(kx) * sinx.
Dann war die Ableitung schon mal definitiv richtig.
> mit deinen Angaben habe ich nun:
>
> cos x + k * sinx = 0
> cosx (1 + k*sinx * (1/cosx)) = 0
>
> cos x = 0 --> x = pi/2
Das bringt dich nicht weiter! Da wie du im folgenden richtig erkannt hast, der Sinus geteilt durch Cosinus den Tangens ergibt, der für [mm] x=0.5\pi [/mm] nicht definiert ist (da du ja durch cos(0.5) teilst, was wiederum null ergibt).
> oder
>
> (1 + k*sinx * (1/cosx)) = 0
> k*tanx = -1
> wie rechne ich nun weiter, so dass ich die Extremas
> angeben kann?
Blackout? Soweit war das doch richtig und gut. Du musst das ganze nur noch nach x umstellen
k*tanx = -1 | :k
tan(x) = [mm] \bruch{-1}{k} [/mm] | arc tan
x = arc [mm] tan(\bruch{-1}{k})
[/mm]
Allerdings musst du noch die zweite Ableitung oder den Vorzeichenwechsel benutzen, um zu seigen, dass es auch wirklich ein Extremum ist.
Kommst du alleine auf das zweite Extremum im Intervall - pi <=x <=pi ?
>
> vielen dank,
>
> sven
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 22.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hi, danke fürs Antworten.
Ich habe gedacht, dass es immer stimmt, wenn man das so macht:
Man hat sich ja jetzt ein Extrema ausgerechnet und überprüft dass es ein Tiefpunkt ist. Nun gilt beim Tangenz also grundsätzlich in diesem Fall:
x0 = pi * tan^-1(-1/k) --> Tiefpunkt
daraus folgt dann
x1 = pi * tan^-1(-1/k) + pi*r
Wenn r ungerade ist, ist es ein Tiefpunkt, sonst ein Hochpunkt. (jetzt mal eine Betrachtung außerhalb unseres Intervalles). So stimmt das doch, oder?
In diesem Fall gilt es ja nur im Positiven Bereich (im Negativen nährt sich der Graph der x-Achse an und es gibt nur noch ein Extrem, das sagt mir eine Computerzeichnung). Wie kann ich rechnerisch feststellen, dass diese regelmäßigen Schwankungen nur im positiven Bereich auftreten und es im negativen Bereich nur noch einen Extrempunkt gibt?
Danke an euch,
sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sven
> Ich habe gedacht, dass es immer stimmt, wenn man das so
> macht:
>
> Man hat sich ja jetzt ein Extrema ausgerechnet und
> überprüft dass es ein Tiefpunkt ist. Nun gilt beim Tangenz
> also grundsätzlich in diesem Fall:
>
> x0 = pi * tan^-1(-1/k) --> Tiefpunkt
wie kommst du auf [mm] \pi [/mm] * tan^-1(-1/k) ? x0=tan^-1(-1/k) hast du doch gerechnet?
> daraus folgt dann
> x1 = pi * tan^-1(-1/k) + pi*r
ohne das pi vorne richtig, aber genauer ist $x1= tan^-1(-1/k) [mm] +\pi, [/mm] oder x1= tan^-1(-1/k) [mm] -\pi$
[/mm]
$xn= tan^-1(-1/k) [mm] \pm n*\pi$
[/mm]
> Wenn r ungerade ist, ist es ein Tiefpunkt, sonst ein
> Hochpunkt. (jetzt mal eine Betrachtung außerhalb unseres
> Intervalles). So stimmt das doch, oder?
Nein, genau umgekehrt r=0 war doch Tiefpkt, also r=1 Hochpkt usw.
> In diesem Fall gilt es ja nur im Positiven Bereich (im
> Negativen nährt sich der Graph der x-Achse an und es gibt
> nur noch ein Extrem, das sagt mir eine Computerzeichnung).
Das ist falsch. Wenn du die neg. Seite vergrößerst, siehst du, dass es da genausoviel Hoch und Tiefpkte gibt, wie auf der pos Seite. Das sagt ja auch deine Rechnung, denn tan(-1/k) hat genausoviele neg wie positive Lösungen.
da [mm] e^{kx} [/mm] für neg. x schnell klein wird, der sin maximal 1 bzw -1 werden die Min und Max chnell ziemlich klein, d.h. dein Prgramm macht sie nicht sichtbar!
> Wie kann ich rechnerisch feststellen, dass diese
> regelmäßigen Schwankungen nur im positiven Bereich
> auftreten und es im negativen Bereich nur noch einen
> Extrempunkt gibt?
Siehe oben!!
(Bei einer Fkt wie [mm] sinx*e^{x} [/mm] lohnt es sich eine Skizze der 2 einzelnen Funktionen zu machen, und dann das Produkt zu skizzieren: alle Nullstellen des sin bleiben Nullstellen, Überall, wo sinx=1 ist liegen die Werte auf der Kurve [mm] e^{x}, [/mm] bei -1 auf der Kurve [mm] -e^{x} [/mm] (die skizziert man am besten auch.
Dann sieht man direkt, wo ungefähr die Max und Min liegen, und kann seine Rechng überprüfen. Solche einfachen Überlegungen und skizzen sind oft besser als ein Funktionsplotter, ausserdem funktionierts auch in Klausuren und Prüfungen!)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 23.01.2006 | | Autor: | svenchen |
leudart danke.
Wenn ich die sin Funktion und die e Funktion seperat in dein Koordinatensystem zeichne, wie kann ich daraus dann auf die Extremas von [mm] e^x*sinx [/mm] schließen? kannst du mir vielleicht dazu noch ein paar Tipps geben, weiß nicht ganz wie das funktionieren soll. Das wäre nämlich sher hilfreich ....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sven
Wenn du die beiden Kurven und noch die [mm] -e^{x} [/mm] Kurve hast, kannst du direkt ganz viele Punkte der Produktkurve "sehen":
1. Alle Nullstellen von sinx sind Nullstellen der Produktkurve.
2. alle 1-Stellen also Maxima der sin Kurve kommen direkt auf die [mm] e^{x} [/mm] Kurve darüber, weil die ja mit 1 multipliziert wird.
3. alle -1 Werte der sin Kurve kommen direkt darunter auf die [mm] -e^{x} [/mm] Kurve , weil ja e^(x) da mit -1 multipliziert wir.
4. da neben dem max. die sin Kurve fast nicht fällt, die e Kurve aber kräftig steigt, liegen die maxima der neuen Kurve rechts von denen der sin Kurve.,entsprechend die Minima auch .
5. die Kurve bleibt aber immer unterhalb der e kurve, da ja sin immer kleiner 1 ist.
Ergebnis: eine "beinahe" sin Kurve, die nach rechts in immer höhere maxima hat, nach links immer kleinere.
Den Rest kann man dann genialisch durch Verbinden der einfach gefundenen Punkte zeichnen.
Was man dabei direkt sieht: die Kurve muss überall wo der sin ein Max har in der Nähe davon, rechts auch ein Max haben, entsprechend für Min.
Ich hoff das ist klar.
Die Methode punktweise zu multiplizieren ist immer gut, wenn man eine Funktion hat, die man leicht als Produkt von 2 einfachen schreiben kann!
(probiers mal mit$ [mm] y=(x-1)*x^2$ [/mm] oder mit x*cosx, $1/x*sinx$ usw!)
Gruss leduart
|
|
|
|
