cosh ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 05.08.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
hat jemand eine Idee, wie ich die Ungleichung
[mm] $\cosh^p(|x|)\leqslant \cosh(p|x|)$, $p\in\IR$ [/mm] mit [mm] $p\geqslant [/mm] 1$
zeigen kann?
Danke bereits im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 05.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Zeige die Ungleichung für [mm] p\in\IQ [/mm] mit [mm] p\ge [/mm] 1
Aufgrund der Dichtheit und der Stetigkeit gilt es dann auch auf [mm] \IR.
[/mm]
MfG
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Du könntest die Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f(x) = \frac{\cosh^p x}{\cosh(px)} \, , \ \ x \geq 0[/mm]
untersuchen.
1. Berechne [mm]f(0)[/mm].
2. Berechne [mm]f'(x)[/mm] und zeige, daß für [mm]x>0[/mm] gilt: [mm]f'(x) < 0[/mm].
(Hinweis: Additionstheorem [mm]\sinh(u-v) = \sinh u \cdot \cosh v - \cosh u \cdot \sinh v[/mm] )
Folgerung aus 1. und 2. ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Du könntest die Funktion [mm]f[/mm] mit
>
> [mm]f(x) = \frac{\cosh^p x}{\cosh(px)} \, , \ \ x \geq 0[/mm]
>
> untersuchen.
>
> 1. Berechne [mm]f(0)[/mm].
>
> 2. Berechne [mm]f'(x)[/mm] und zeige, daß für [mm]x>0[/mm] gilt: [mm]f'(x) < 0[/mm].
>
> (Hinweis: Additionstheorem [mm]\sinh(u-v) = \sinh u \cdot \cosh v - \cosh u \cdot \sinh v[/mm]
> )
>
> Folgerung aus 1. und 2. ?
Okay, wir wollen zeigen, dass die Funktion $f$ in [mm] $x\geqslant [/mm] 0$ monoton fallend ist. Dazu zeigen wir
[mm] $f'(x)\leqslant [/mm] 0$ für [mm] $x\geqslant [/mm] 0$
daraus folgt dann
[mm] $f(x)\leqslant [/mm] f(0)=1$
Multiplikation mit [mm] $\cosh(px)$ [/mm] liefert dann meine Behauptung.
Ich verstehe bei Deinem Hinweis nur nicht, wie Du das Additionstheorem angewendet hast: Die Ableitung erhalten wir durch Quotientenregel (und Produktregel):
[mm] $f'(x)=\frac{p\cdot \left(\cosh^{p-1}(x)\sinh(x)-\cosh^p(x)\sinh(px)\right)}{\cosh^2(px)}$
[/mm]
Wie genau zeige ich nun (mit Hilfe des Additionstheorems) [mm] $f'(x)\leqslant [/mm] 0$?
Vielen Dank
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Du kannst im Zähler [mm]\cosh^{p-1} x[/mm] ausklammern.
EDIT
Du hast die Ableitung falsch berechnet. Rechne noch einmal nach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
z.z.: [mm] $f'(x)=\frac{p\cdot \left(\cosh^{p-1}(x)\sinh(x)-\cosh^p(x)\sinh(px)\right)}{\cosh^2(px)}<0\gdw [/mm] x>0$
Wieso willst du zeigen, dass [mm] $f'(x)\le [/mm] 0$ gilt ?
[mm] $\cosh(x)\ge [/mm] 1>0\ [mm] \forall x\in\IR$ \Rightarrow [/mm] Untersuchung des [mm] \sinh(x)
[/mm]
[mm] $\sinh(x)>0\gdw [/mm] x>0\ [mm] \forall x\in\IR$
[/mm]
[mm] $\sinh(x)<0\gdw [/mm] x<0\ [mm] \forall x\in\IR$
[/mm]
[mm] $\sinh(x)=0\gdw [/mm] x=0$
[mm] $f'(x)=\frac{p\cdot \left(\cosh^{p-1}(x)\sinh(x)-\cosh^p(x)\sinh(px)\right)}{\cosh^2(px)}=\bruch{p(\bruch{\cosh^p(x)}{\cosh(x)}\sinh(x)-\cosh^p(x)\sinh(px))}{\cosh^2(px)}
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] \cosh^p(x) [/mm] ausklammern im Nenner.
Außerdem mit den Additionstheoremen vom [mm] \sinh(x) [/mm] und [mm] \cosh(x) [/mm] weiter kürzen.
[mm] \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\sinh(y)\cosh(x)
[/mm]
[mm] \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)
[/mm]
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Sa 06.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion [mm] f(t):=t^p [/mm] ist auf [0, [mm] \infty) [/mm] konvex, also gilt
[mm] f(\bruch{a+b}{2}) \le \bruch{f(a)+f(b)}{2} [/mm] für alle a,b [mm] \ge [/mm] 0
Setzte mal [mm] a=e^x [/mm] und [mm] b=e^{-x} (x\ge [/mm] 0)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank an alle für die Antworten. Das Problem ist nun gelöst.
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