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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 12.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2$ [/mm] die Projektion auf dei Gerade L : [mm] 2x_1 -x_2 [/mm] = 0 längs der Geraden [mm] $R\pmat{2\\1}$. [/mm] Bestimmen Sie die darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^2. [/mm] |
Hoi.
Ich hab mir das mal aufgezeichnet und die Gerade L ist y = 2x und R(2,1) ist y=0,5x
Als Lösung haben wir den Ansatz [mm] $\phi(\pmat{1\\2})=\pmat{0\\0}$ [/mm] und [mm] $\phi(\pmat{1\\2})=\pmat{1\\2}$ [/mm] verwendet.
Verstehe aber nicht, wo das herkommen tut. Könnt ihr mir dass sagen?
Gruß, Wehm
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> Sei [mm]\phi : R^2 -> R^2[/mm] die Projektion auf dei Gerade L :
> [mm]2x_1 -x_2[/mm] = 0 längs der Geraden [mm]R\pmat{2\\1}[/mm]. Bestimmen Sie
> die darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm] bezüglich der
> Standardbasis des [mm]R^2.[/mm]
> Hoi.
>
> Ich hab mir das mal aufgezeichnet und die Gerade L ist y =
> 2x und R(2,1) ist y=0,5x
>
> Als Lösung haben wir den Ansatz
> [mm]\phi(\pmat{1\\2}) = \pmat{0\\0} \ und \ \phi(\pmat{1\\2}) = \pmat{1\\2}[/mm]
> verwendet. Verstehe aber nicht, wo das herkommen tut. Könnt
> ihr mir dass sagen?
Hallo,
ich nehme einmal ganz stark an, daß Euer Ansatz eher so hieß:
[mm] \phi(\pmat{2\\1}) [/mm] = [mm] \pmat{0\\0} [/mm] \ und \ [mm] \phi(\pmat{1\\2}) [/mm] = [mm] \pmat{1\\2}.
[/mm]
Mach Dir zunächst einmal klar, was bei Deiner Projektion geschieht.
Die Gerade, auf welche projeziert wird, ist die Gerade [mm] \vektor{x \\ y}=\lambda\vektor{1 \\ 2}, [/mm] und es wird längs der Geraden [mm] \vektor{x \\ y}=\mu\vektor{2 \\ 1} [/mm] projeziert.
Diesen Vorgang beschreibt man am einfachsten durch eine dem Vorgang angepaßte Basis.
Hier ist das [mm] B:=(\vektor{1 \\ 2},\vektor{2 \\ 1}).
[/mm]
Jeden Vektor kann man ja eindeutig als Linearkombination von [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] schreiben.
Was macht nun die Projektion? Sie läßt die Komponente in Richtung [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] unverändert, die Komponente in Richtung [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] verschwindet -
und genau das sagt der Ansatz [mm] \phi(\pmat{2\\1}) [/mm] = [mm] \pmat{0\\0} [/mm] \ und \ [mm] \phi(\pmat{1\\2}) [/mm] = [mm] \pmat{1\\2}.
[/mm]
Dieser Ansatz beschreibt die Abbildung auf einer geeigneten Basis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo angela.h.b
Eine gute Antwort die mir sehr weiterhilft
Hat mich gefreut
Gruß
Wehm
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