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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 Do 08.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für diese Aufgabe habe ich leider nicht wirklich einen Ansatz. Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Do 08.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Guten morgen !
also deine Matrix A soll schon die Abbildungsmatrix sein von F, aber du suchst nun Basen, so dass F eine besondere Form hat.
Ich denke es gibt zwei Möglichkeiten : eine allgemeine und eine hier speziell etwas schnellere (vielleicht !)
im allgemeinen kannst Matrix A ja durch Zeilenänderungen* auf die spätere Form bringen - wenn du dir nun jede dieser Zeilenumformungen "merkst" und als Matrix aufschreibst, danach alle diese Elementarmatrizen zusammen zu einer schreibst/multiplizierst, dann ergibt sich gerade eine  Transformationsmatrix an der man dann auch die Basis (relativ zu der bereitsverwendeten) ablesen kann.
zu *) wenn Spaltenänderungen notwendig sein sollten, muss man zw. Rechts- und Linksmultiplikation der Elementarmatrizen unterscheiden !
Hier speziell würde sich evtl eine andere Vorgehensweise anbieten:
Du siehst an der gewollten Darstellungsmatrix, dass du eine Basis A={a,b,c,d} suchst, wobei c und d aus dem Kern sind.
Du kannst dir also eine Basis des Kerns suchen und diese c und d nennen.
Diese ergänzt du zu um a und b zu einer Basis des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Weil a und b aber genau auf die entspr. Bildvektoren abgebildet werden sollen, musst du auch B={v,w,x} ändern:
wobei nun einfach v=F(a) und w=F(b)
und x eine entspr. Ergänzung des [mm] $\R^3$ [/mm] ist.
Was dir nun besser gefällt weiß ich nicht, ich denke ich würde lieber mal einemal den Weg über die Trafomatrizen gehen, damit man einmal sieht wie man es machen würde, wenn man eine total konfuse "gewollte" Abbildungsmatrix gestellt bekommt und man die Basen finden soll.
(Obwohl es dann trotzdem irgendwie mit Gleichungssystemen und Basisergänzungen gehen sollte)
viele Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 08.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Andreas!
Danke für deine Antwort, leider habe ich damit aber noch Probleme.
> im allgemeinen kannst Matrix A ja durch Zeilenänderungen*
> auf die spätere Form bringen - wenn du dir nun jede dieser
> Zeilenumformungen "merkst" und als Matrix aufschreibst,
> danach alle diese Elementarmatrizen zusammen zu einer
> schreibst/multiplizierst, dann ergibt sich gerade eine
> Transformationsmatrix an der man dann auch die Basis
> (relativ zu der bereitsverwendeten) ablesen kann.
>
> zu *) wenn Spaltenänderungen notwendig sein sollten, muss
> man zw. Rechts- und Linksmultiplikation der
> Elementarmatrizen unterscheiden !
[Dateianhang nicht öffentlich]
So weit bin ich bis jetzt gekommen. Das Prinzip ist doch richtig, oder? Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet... Aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Und wie das mit den Spaltenumformungen gemeint ist, weiß ich auch nicht so ganz.
Und noch direkt eine Frage dazu: Sind diese Umformungen Stoff der Linearen Algebra? Ich kann mich eigentlich nur daran erinnern, dass wir das in Prama gemacht haben. Und irgendwie habe ich das wohl nie so ganz verstanden und den Rest auch wieder vergessen. :-/
Könntest du mir da weiterhelfen?
> Hier speziell würde sich evtl eine andere Vorgehensweise
> anbieten:
> Du siehst an der gewollten Darstellungsmatrix, dass du
> eine Basis A={a,b,c,d} suchst, wobei c und d aus dem Kern
> sind.
>
> Du kannst dir also eine Basis des Kerns suchen und diese c
> und d nennen.
Demnach ist der Kern wohl zweidimensional!?
Also, ich hätte doch folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm] -2x_1+3x_2+2x_3+3x_4=0
[/mm]
[mm] -3x_1+5x_2+x_4=0
[/mm]
[mm] -x_1+2x_2-2x_3-2x_4=0
[/mm]
aus der zweiten Gleichung ergibt sich: [mm] x_4=3x_1-5x_2
[/mm]
aus der dritten: [mm] 2x_3=-7x_1+12x_2
[/mm]
eingesetzt in die erste ergibt sich, dass die erste Gleichung wegfällt, da sie immer erfüllt ist.
Also habe ich noch folgende Bedingungen für den Kern:
[mm] x_4=3x_1-5x_2
[/mm]
und
[mm] x_3=-3,5x_1+6x_2
[/mm]
Ist dann der Kern:
Ker [mm] F=\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\0\\3\lambda_1-5\lambda_2},\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\-3,5\lambda_1+6\lambda_1\\0}
[/mm]
Ich glaub', da ist ein Rechenfehler im Gleichungssystem. Werde das vielleicht nachher nochmal nachrechnen. Aber ist das Prinzip so richtig?
> Diese ergänzt du zu um a und b zu einer Basis des [mm]\IR^4[/mm].
> Weil a und b aber genau auf die entspr. Bildvektoren
> abgebildet werden sollen, musst du auch B={v,w,x} ändern:
> wobei nun einfach v=F(a) und w=F(b)
> und x eine entspr. Ergänzung des [mm]\R^3[/mm] ist.
Viele Grüße
Bastiane
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 08.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen an diesem sonnigen tag !
Also erstmal zu der ersten Vorgehensweise:
du suchst eine Matrix T, so dass : [mm] $A*T=\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0}$
[/mm]
wie groß, d.h. welche Dimensionen muss also T haben ?
Die Einheitsmatrix (in der entsprechenden Größe) daneben zu schreiben soll eigentlich nur ein Protokoll sein für das, was du der Matrix A antust um sie auf die rechte Seite zu bringen.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht recht, ob es so einfach zulässig ist - dies könnte man ja danach mal testen, ob es klappt.
In der LA lernt man aber durchaus, welche Arten von Elementarmatrizen es gibt und was sie bewirken, siehe zum Beispiel im Fischer oder hier im MR : https://matheraum.de/read?t=70012&v=t
Jedenfalls meinte ich eigentlich, dass man sich die Umformungen, die man macht im Sinne dieser Matrizen merkt und diese dann zum Schluss zusammenmultipliziert, aber je länger ich nun darüber nachdenke...
Ja, dein Verfahren ist richtig - aber du musst halt eine 4x4 Einheitsmatrix daneben schreiben und auf Rechenfehler achten
(zweite Matrix auf dem Bild ist die -4 und -5 falsch, oder?)
jedenfalls erhälst du dann die TrafoMatrix T, angenommen die Matrix A ist gegeben in Bezug auf kanonischen Basen C in [mm] $\IR^4$ [/mm] und D in [mm] $\IR^3$, [/mm] dann beschreibt T also den Basiswechsel von A zu C (als Basen).
D.H in den Spalten von T steht die Basis A.
nun zur zweiten Vorgehensweise:
> Demnach ist der Kern wohl zweidimensional!?
Wieso die Frage? Also man sieht doch an der Matrix [mm] $\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0}$ [/mm] , dass die beiden ersten Basisvektoren auf die beiden ersten Basisvektoren des Unterraumes des [mm] $\IR^3$ [/mm] abgebildet werden und die beiden letzten auf Null.
Also ist der Kern zweidimensional und das Bild auch.
>
> Also, ich hätte doch folgendes Gleichungssystem zu lösen:
>
> [mm]-2x_1+3x_2+2x_3+3x_4=0[/mm]
> [mm]-3x_1+5x_2+x_4=0[/mm]
> [mm]-x_1+2x_2-2x_3-2x_4=0[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aus der zweiten Gleichung ergibt sich: [mm]x_4=3x_1-5x_2[/mm]
> aus der dritten: [mm]2x_3=-7x_1+12x_2[/mm]
>
> eingesetzt in die erste ergibt sich, dass die erste
> Gleichung wegfällt, da sie immer erfüllt ist.
> Also habe ich noch folgende Bedingungen für den Kern:
>
> [mm]x_4=3x_1-5x_2[/mm]
> und
> [mm]x_3=-3,5x_1+6x_2[/mm]
>
will ich jetzt nicht nachrechnen, aber das Prinzip ist ja richtig !!
> Ist dann der Kern:
>
> Ker
> [mm]F=\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\0\\3\lambda_1-5\lambda_2},\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\-3,5\lambda_1+6\lambda_1\\0}[/mm]
>
nee, dann wäre der Kern gerade : [mm] $\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\-3,5\lambda_1+6\lambda_2\\3\lambda_1-5\lambda_2}=\lambda_1*\vektor{1\\0\\-3,5\\3}+\lambda_2*\vektor{0\\1\\6\\-5}$
[/mm]
und daran sieht man ja jetzt eine Basis des Kerns
aber wie gesagt : ich habe es nicht nachgerechnet !
Dann fehlt nur noch das nervige ergänzen und Bilder anschauen..
viele Grüße
Andreas
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