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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 11.12.2012 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] die lineare Funktion mit
[mm] f\vektor{1 \\ 0 \\1}= f\vektor{5 \\ 5 \\-1}, f\vektor{1 \\ 2 \\0}= f\vektor{5 \\ 4 \\8}, f\vektor{-1 \\ 1 \\1}= f\vektor{0 \\ -3 \\8}
[/mm]
a.) Berechnen Sie die darstellende Matrix [mm] M_{B,B} [/mm] (f) der Funktion f, wobei B die Standard-Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
b.) Berechnen Sie [mm] f(\vektor{1 \\ 3 \\0 }) [/mm] mittels Matrix [mm] M_{B,B} [/mm] (f). |
Hallo Leute,
ich steh momentan bisschen auf dem Schlauch. Ich war komplett die letzte Woche krank und hab die Vorlesung verpasst. Im Tutorium war ich zwar und habe auch alles verstanden aber ich kann, dass gelernte nicht auf die Aufgaben anwenden.
Also die Standard-Basis bei [mm] \IR^3 [/mm] ist ja:
B={ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{ 0\\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] }
Aus dem Tutorium weiß ich, kenne ich die 3 Schritte:
1.) Bilde Basisvektor aus B mit f ab
2.) Stelle [mm] f(b_{i}) [/mm] als Linear Kombination von B' dar
3.) Koeff. in Spalten eintragen.
So, mein Problem kommt schon beim ersten f:
Schritt 1: [mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\0})= \pmat{ 5*1 + & 0 + & 0 \\ 0 + & 0 + & 0 \\0 + & 0+ &0 }= (\vektor{5 \\ 0 \\0})
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\0})= \pmat{ 0 + & 0 + & 0 \\ 0 + & 5*1 + & 0 \\0 + & 0+ &0 }= (\vektor{0 \\ 5 \\0})
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\1})= \pmat{ 0 + & 0 + & 0 \\ 0 + & 0 + & 0 \\0 + & 0+ & -1*1 }= (\vektor{0 \\ 0 \\-1})
[/mm]
Schritt 2:
[mm] \vektor{5 \\ 0 \\0}=5*b_1+0*b_2+0*b_3
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 5 \\0}=0*b_1+5*b_2+0*b_3
[/mm]
vektor{0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\-1}=0*b_1+0*b_2+-1*b_3
[/mm]
Schritt 3, die Matrix:
[mm] \pmat{ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & -1 }
[/mm]
So hab ich das verstanden. Was mich bisschen skeptisch auf meiner Lösung macht ist, dass ich [mm] f\vektor{1 \\ 0 \\1} [/mm] gar nicht benutzt habe.
Ich hoffe ihr könnt meine Lösung bestätigen bzw. mir weiter helfen.
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> Sei [mm]f:\IR^3 \to \IR^3[/mm] die lineare Funktion mit
>
> [mm]f\vektor{1 \\
0 \\
1}= \vektor{5 \\
5 \\
-1}, f\vektor{1 \\
2 \\
0}= \vektor{5 \\
4 \\
8}, f\vektor{-1 \\
1 \\
1}= \vektor{0 \\
-3 \\
8}[/mm]
>
> a.) Berechnen Sie die darstellende Matrix [mm]M_{B,B}[/mm] (f) der
> Funktion f, wobei B die Standard-Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist.
>
> b.) Berechnen Sie [mm]f(\vektor{1 \\
3 \\
0 })[/mm] mittels Matrix
> [mm]M_{B,B}[/mm] (f).
>
> Also die Standard-Basis bei [mm]\IR^3[/mm] ist ja:
> B={ vektor{1 [mm] \\ [/mm]
0 [mm] \\ [/mm]
[mm] 0},\vektor{ 0\\
1 \\
0}, \vektor{0 \\
0 \\
1}
[/mm]
> }
>
> Aus dem Tutorium weiß ich, kenne ich die 3 Schritte:
> 1.) Bilde Basisvektor aus B mit f ab
Hallo,
dazu mußt Du erstmal [mm] \vektor {1\\0\\0} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vektor{1 \\
0 \\
1}, \vektor{1 \\
2 \\
0}\vektor{-1 \\
1 \\
1} [/mm] schreiben, und dann unter Ausnutzung der Linearität von f den Funktionswert dieser Linearkombination berechnen.
Für die beiden anderen Basisvektoren genauso.
Damit kennst Du die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
Stellst Du die Bilder als Spalten in eine Matrix, so hast Du die Matrix [mm] M_{B,B}(f) [/mm] gefunden.
[mm] f(\vektor{1\\3\\0}) [/mm] bekommst Du, indem Du die errechnete Matrix mit [mm] \vektor{1\\3\\0} [/mm] multiplizierst.
> 2.) Stelle [mm]f(b_{i})[/mm] als Linear Kombination von B' dar
> 3.) Koeff. in Spalten eintragen.
Diese Anleitung ist dafür, für zwei Basen B und B' die darstellende Matrix bzgl der Basis B im Start- und B' im Zielraum aufzustellen.
Bei Aufg. a) stimmen ja B und B' überein.
LG Angela
>
> So, mein Problem kommt schon beim ersten f:
> Schritt 1: [mm]f(\vektor{1 \\
0 \\
0})= \pmat{ 5*1 + & 0 + & 0 \\
0 + & 0 + & 0 \\
0 + & 0+ &0 }= (\vektor{5 \\
0 \\
0})[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\
1 \\
0})= \pmat{ 0 + & 0 + & 0 \\
0 + & 5*1 + & 0 \\
0 + & 0+ &0 }= (\vektor{0 \\
5 \\
0})[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\
0 \\
1})= \pmat{ 0 + & 0 + & 0 \\
0 + & 0 + & 0 \\
0 + & 0+ & -1*1 }= (\vektor{0 \\
0 \\
-1})[/mm]
>
> Schritt 2:
> [mm]\vektor{5 \\
0 \\
0}=5*b_1+0*b_2+0*b_3[/mm]
> [mm]\vektor{0 \\
5 \\
0}=0*b_1+5*b_2+0*b_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> vektor{0 [mm]\\
[/mm] 0 [mm]\\
-1}=0*b_1+0*b_2+-1*b_3[/mm]
>
> Schritt 3, die Matrix:
> [mm]\pmat{ 5 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> So hab ich das verstanden. Was mich bisschen skeptisch auf
> meiner Lösung macht ist, dass ich [mm]f\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm] gar
> nicht benutzt habe.
>
> Ich hoffe ihr könnt meine Lösung bestätigen bzw. mir
> weiter helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Hero991 |
Danke erstmal aber es gibt aber keine Linear Kombination die passen würde mit $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ zu mindestens habe ich keine Gefunden.
Kann mir das jemand genauer erklären, wie ich dabei vorgehen muss?
Mit freundlichen Grüßen
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> Danke erstmal aber es gibt aber keine Linear Kombination
> die passen würde mit [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}, \vektor{1 \\
2 \\
0}\vektor{-1 \\
1 \\
1}[/mm]
> zu mindestens habe ich keine Gefunden.
>
> Kann mir das jemand genauer erklären, wie ich dabei
> vorgehen muss?
Hallo,
das glaube ich nicht.
Du mußt das Gleichungssystem
[mm] $a\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+b\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+c\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}$ =\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
lösen, für die anderen beiden Vektoren entsprechend.
LG Angela
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
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