darstellende Matrix und Basen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 So 29.12.2013 | | Autor: | onkelfreddy |
Hallo!
Ich bereite mich gerade für das Thema darstellende Matrizen und Basen vor und komm nun bei folgender Aufgabe überhaupt nicht mehr weiter:
Gegeben ist:
eine lineare Abbildung L:V→V und die darstellende Matrix LB bezüglich einer Basis B={B1,...,Bn}.
L: [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] -> [mm] \pmat{ a+3b & 0 \\ 0 & 4b }
[/mm]
und LB: [mm] \pmat{ 4 & 3 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Gesucht ist:
einmal die Anzahl der Elemente in der Basis B
KB(Bi), LB(KB(Bi)) sowie KB-1(LB(KB(Bi))) als Linearkombination der
Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
Bestimmen Sie eine Basis B, sodass LB die darstellende Matrix von L bzgl. B ist.
Wie finde ich denn nun die Basen? Ich stehe im Moment wirklich auf dem Schlauch...
Dann schon einmal vielen Dank und einen Guten Rutsch!
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> Hallo!
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> Ich bereite mich gerade für das Thema darstellende
> Matrizen und Basen vor
Hallo,
in dem Alter, welches in Deinem Profil angegeben ist, ist das beachtlich.
> und komm nun bei folgender Aufgabe
> überhaupt nicht mehr weiter:
Sei so gut und poste mal die komplette Aufgabe mit Vorwort im Originalton.
So ist sie etwas suspekt...
LG Angela
>
> Gegeben ist:
> eine lineare Abbildung L:V→V und die darstellende Matrix
> LB bezüglich einer Basis B={B1,...,Bn}.
>
> L: [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }[/mm] -> [mm]\pmat{ a+3b & 0 \\ 0 & 4b }[/mm]
>
> und LB: [mm]\pmat{ 4 & 3 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Gesucht ist:
>
> einmal die Anzahl der Elemente in der Basis B
> KB(Bi), LB(KB(Bi)) sowie KB-1(LB(KB(Bi))) als
> Linearkombination der
> Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
>
> Bestimmen Sie eine Basis B, sodass LB die darstellende
> Matrix von L bzgl. B ist.
>
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> Wie finde ich denn nun die Basen? Ich stehe im Moment
> wirklich auf dem Schlauch...
>
> Dann schon einmal vielen Dank und einen Guten Rutsch!
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Hallo!
Sehr viel mehr steht da leider auch nicht:
Gegeben ist folgender Vektorraum
V:= /{ [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] mit a,b Element [mm] \IR [/mm] }
eine lineare Abbildung L:V→V und
die darstellende Matrix LB bezüglich einer Basis B={B1,...,Bn}.
Gebe die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und bestimmen Sie anschließend
KB(Bi), LB(KB(Bi)) sowie KB⁻¹(LB(KB(Bi))) als Linearkombination der
Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
Bestimme eine Basis B, sodass LB die darstellende Matrix von L bzgl. B ist.
(Hinweis: B muss nicht eindeutig sein, unter Umständen sind mehr als eineLösung möglich.)
Und hier nach gibt es ein a, b und c, wobei jedes mal eine andere Matrize und eine andere Abbildungsvorschrift angegeben ist.
Also es gibt ja diese "schönen" kommutativen Diagramme, an dem man sehen soll, wie die einzelnen Elemente in Beziehung stehen. Normalerweise hatte ich immer die Basen schon gegeben und konnte davon dann die Bilder der Basen bestimmen und so weiter. Aber im Moment bin ich ein bisschen zu damisch, die Bilder, geschweige denn die eigentlichen Basen zu bestimmen...
Viele Grüße
PS Habe mein Profil mal korrigiert, bin mittlerweile kein 8 Klässler mehr, sondern schon junger Student im 2.Semester, wobei Mathe nur ein Nebenfach ist 
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> Gegeben ist folgender Vektorraum
> V:= [mm] \{ \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } mit\quad a,b \quad Element \quad \IR\ }
[/mm]
Hallo,
> eine lineare Abbildung L:V→V
mit L: [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \mapsto \pmat{ a+3b & 0 \\ 0 & 4b }
[/mm]
> und
> die darstellende Matrix LB
[mm] L_B=\pmat{ 4&0\\ 3 & 1 } [/mm]
Achtung: ich habe die Matrix gegenüber Deinem Eingangspost geändert.
Schau nach, ob sie jetzt so ist wie auf dem Aufgabenblatt.
> bezüglich einer Basis
> B={B1,...,Bn}.
>
> Gebe die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und
> bestimmen Sie anschließend
> KB(Bi), LB(KB(Bi)) sowie KB⁻¹(LB(KB(Bi))) als
> Linearkombination der
> Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
>
> Bestimme eine Basis B, sodass LB die darstellende Matrix
> von L bzgl. B ist.
Schau Dir den VR V an, den Raum der [mm] 2\times [/mm] 2-Diagonalmatrizen.
Hier sind die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) Matrizen.
V hat die Dimension 2:
Mit den beiden linear unabhängigen Vektoren [mm] C_1:=\pmat{1&0\\0&0}, C_2:=\pmat{0&0\\0&1} [/mm] kann man jedes Element von V als Linearkombination schreiben.
Diese beiden Matrizen bilden eine (!) Basis C von V - möglicherweise noch nicht die gesuchte.
Nun schreib mal [mm] K_C(C_1) [/mm] und [mm] K_C(C_2), [/mm] die Koordinatenvektoren von [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] bzgl. der Basis C hin.
Wie geht das?
Beispiel:
es ist [mm] K_C(\pmat{ 2& 0 \\ 0 & 4 }=2*C_1+4*C_2=\vektor{2\\4}_{C}.
[/mm]
Jetzt stellen wir die Darstellungsmatrix von L bzgl C, die Matrix [mm] L_C, [/mm] auf.
Wie geht das? So:
In den Spalten von [mm] L_C [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung L in Koordinaten bzgl C.
Du mußt also [mm] L(C_1) [/mm] und [mm] L(C_2) [/mm] berechnen, als Koordinatenvektoren bzgl C schreiben, also [mm] K_C(L(C_1)) [/mm] und [mm] K_C(L(C_2)) [/mm] berechnen, und diese dann als Spalten in eine Matrix packen. Damit hast Du [mm] L_C.
[/mm]
Diese Matrix kannst Du mit Koordinatenvektoren bzgl C von Elementen aus V füttern (=multiplizieren) und sie liefert Dir dann die Bilder der Elemente aus V unter der Abbildung L - aber in Koordinaten bzgl. C.
Berechne jetzt mal [mm] L_C(K_C(C_1)) [/mm] und [mm] L_C(K_C(C_2)).
[/mm]
Wandle diese wieder um in Elemente aus V.
Du hast jetzt [mm] K^{-1}_C(L_C(K_C(C_1))) [/mm] und [mm] K^{-1}_C(L_C(K_C(C_2))),
[/mm]
und wenn Du alles richtig gemacht hast, hältst Du nun [mm] L(C_1) [/mm] und [mm] L(C_2) [/mm] in den Händen.
Mach das alles langsam und gründlich.
Wenn Du das hast, kannst Du Dich auf die Suche nach der Basis [mm] B=(B_1, b_2) [/mm] machen, bzgl derer die Darstellungsmatrix von L die Matrix
[mm] L_B=\pmat{ 4&0\\ 3 & 1 } [/mm]
ist.
Sie sagt uns:
[mm] L(B_1)=4B_1+3B_2
[/mm]
[mm] L(B_2)=0B_1+1B_2
[/mm]
>
> (Hinweis: B muss nicht eindeutig sein, unter Umständen
> sind mehr als eineLösung möglich.)
>
> Und hier nach gibt es ein a, b und c, wobei jedes mal eine
> andere Matrize
Matrix.
> und eine andere Abbildungsvorschrift
> angegeben ist.
>
> Also es gibt ja diese "schönen" kommutativen Diagramme, an
> dem man sehen soll, wie die einzelnen Elemente in Beziehung
> stehen. Normalerweise hatte ich immer die Basen schon
> gegeben und konnte davon dann die Bilder der Basen
> bestimmen und so weiter. Aber im Moment bin ich ein
> bisschen zu damisch, die Bilder, geschweige denn die
> eigentlichen Basen zu bestimmen...
>
> Viele Grüße
>
> PS Habe mein Profil mal korrigiert, bin mittlerweile kein
> 8 Klässler mehr, sondern schon junger Student im
> 2.Semester,
Oh! Du bist ja ein sehr treuer User!
> wobei Mathe nur ein Nebenfach ist
Macht nix.
LG Angela
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