darstellende matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 28.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
angenommen man hat eine lineare abbildung [mm] f:V\to [/mm] V wobei V K-VR mit dim(V)=n und möchte die darst. Matrix bzgl der Basis
[mm] B=(x_1,...,x_k,y_1,..,y_l) [/mm] und k+l=n
Sei
[mm] B_1=(x_1+,....,x_k+)
[/mm]
[mm] B_2=(x_1+,....,x_k+)
[/mm]
[mm] B_3=(y_1+,....,y_l+)
[/mm]
[mm] B_4=(y_1+,....,y_k+)
[/mm]
dann sieht die Matrix doch folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ {M_{B_1}(\overline{f})} & {M_{B_3}(\overline{f})} \\ {M_{B_2}(\overline{f})} & {M_{B_4}(\overline{f})} }
[/mm]
kann man das so sagen? wo ich etwas stutzig bin sind die Elemente der Basen [mm] B_2 [/mm] und [mm] B_3, [/mm] da liegen ja die repräsentanten direkt in dem Unterraum, der "ausgeschlossen" wird oder wie man das nennt, komme jetzt gerade nicht drauf.
kann man das denn irgendwie so sagen?
Gruß ari :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Fr 01.06.2007 | | Autor: | AriR |
irgendwie wundert es mich, dass bis jetzt noch keine geantwortet hat, dass soll keine kritik sein, nur ich weiß nicht ob die frage so dumm ist, oder einfach nur keiner versteht oder keiner lust hat die zu beantworten +g+
kann mir vielleicht einer nur bitte kurz sagen, das wäre schon echt super
gruß ari :)
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Hallo,
ich gehöre zu den 49 Personen, die sich das angeguckt haben.
Ich kapier's nicht.
Zum einen weiß ich nicht, was mit [mm] \overline{f} [/mm] gemeint ist. Das ist nirgends erklärt, so daß eine Entscheidung über richtig oder falsch schwerfallen muß.
Das große und echte Problem für mich sind aber Deine Basen [mm] B_i.
[/mm]
Ich weiß nicht, von welchem Raum das Basen sein sollen, und was Du damit tun willst. Da stehen ja keine Elemente von V drin, sondern affine Räume!
In [mm] B_1 [/mm] z.B. sind die Basisvektoren k zur Ebene [mm] [/mm] parallele Räume.
Ich bin so ratlos, daß ich nichts dazu sagen kann.
Nun könnte ich das ignorieren und mich auf die eigentliche Aufgabe stürzen. Aber auch das fällt schwer, weil über f gar nichts weiter mitgeteilt ist.
Von daher kann ICH wenig anderes sagen, als daß in der darstellenden Matrix die Bilder der Basisvektoren eben bzgl dieser Basis stehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Fr 01.06.2007 | | Autor: | AriR |
wenn ich das mit worten erklären sollte, dann würde ich es glaub ich so versuchen:
wenn man eine darst. matrix bzgl einer Basis [mm] B=(b_1,...,b_n> [/mm] gegeben hat und man interessiert sich "nur" für einen der teilmatritzen, in den ecken also angenommen ich habe eine [mm] n\times [/mm] n Matrix und interessiere mich nur für die einträge der teilmatrix von der ersten zeile bis k-ten zeile und erste spalte bis k-te spalte mit k<n,
dann betrachte ich einfach die ersten k element der Basis B und nehme diese Modulo [mm]
[/mm]
und stelle die matrix bzgl [mm] \overline{f} [/mm] wobei [mm] \overline{f}(v+)=f(v)+
[/mm]
und wenn man das weiter betrachtet, könnte man sozusagen die matrix in 4 teile unterteilen und jede dieser 4 teilmatritzen irgendwie mit hilfe der affinen räume bekommen
weißt du jetzt ca was ich meine?`
gruß :)
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>
> weißt du jetzt ca was ich meine?'
Da Du mich direkt ansprichst: nicht so richtig...
Mir schwant, daß Du vielleicht irgendwas mit Projektion oder so meinst.
Ich kann Dir im Moment nicht weiterhelfen.
Handelt es sich bei der Fragestellung um eine Aufgabe?
Wenn ja, rate ich Dir, sie mit der vollständigen Aufgabenstellung hier zu posten. Auch scheinbar unbedeutendes Vorgeplänkel, sofern vorhanden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 01.06.2007 | | Autor: | AriR |
nein ist leider keine aufgabe:
wenn man den thread hier zu hilfe nimmt, kann man das sicher leichter erklären:
http://www.matheforum.net/read?i=266560
hier hat man ja unten rechts eine matrix, die man mit hilfe eines affinen unterraums berechnet und ich dachte mir jetzt einfach, dass man das für alle untermatritzen in den "ecken" machen kann.
hab ich mich jetzt vielleicht etwas besser ausdrücken können?
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Hallo,
ich glaube, ich beginne zu verstehen, wie Du das meinst - das, was Du schreibst, hat damit allerdings wenig zu tun.
Du hast eine lineare Abbildung f: V-->V.
[mm] B=(x_1,...,x_k, y_{k+1},...,y_n) [/mm] ist eine Basis von V.
Also ist V die direkte Summe aus [mm] X:=<\underbrace{x_1,...,x_k}_{:=B_X}> [/mm] und [mm] Y:=<\underbrace{y_{k+1},...,y_n}_{:=B_Y}>,
[/mm]
d.h. [mm] V=X\oplus [/mm] Y.
Seine [mm] \pi_X: [/mm] V->X und [mm] \pi_Y: [/mm] V->Y die Projektionen auf X bzw. Y.
dann kann man f schreiben als: [mm] f=\pi_X\circ [/mm] f + [mm] \pi_Y\circ [/mm] f
Also ist [mm] M_B_B(f)=M_B_B(\pi_X\circ [/mm] f ) + [mm] M_B_B(\pi_Y\circ [/mm] f ).
[mm] M_B_B(\pi_X\circ [/mm] f ) ist eine nxn-Matrix, deren untere n-k Zeilen nur Nullen enthalten.
[mm] M_B_B(\pi_Y\circ [/mm] f ) ist eine nxn-Matrix, deren obere k Zeilen nur Nullen enthalten.
Was Du als nächstes zu tun plantest, scheint mir zu sein, die kanonischen Beschränkungen (oder wie auch immer das richtig heißt...) von [mm] \pi_X\circ [/mm] f und [mm] \pi_Y\circ [/mm] f und die zugehörigen Matrizen zu betrachten.
Also
[mm] f_X_X: [/mm] X->X mit [mm] f(x_i):=\pi_X\circ f(x_i)
[/mm]
mit darstellender Matrix [mm] M_{B_X}_{B_X}(f_X_X),
[/mm]
[mm] f_X_Y: [/mm] X->Y mit [mm] f(x_i):=\pi_Y\circ f(x_i)
[/mm]
mit darstellender Matrix [mm] M_{B_X}_{B_Y}(f_X_Y),
[/mm]
[mm] f_Y_X: [/mm] Y->X mit [mm] f(y_i):=\pi_X\circ f(y_i)
[/mm]
mit darstellender Matrix [mm] M_{B_Y}_{B_X}(f_Y_X) [/mm] und
[mm] f_Y_Y: [/mm] Y->Y mit [mm] f(y_i):=\pi_Y\circ f(y_i)
[/mm]
mit darstellender Matrix [mm] M_{B_Y}_{B_Y}(f_Y_Y).
[/mm]
Und wenn Du das meintest, dann sieht die darstellende Matrix von f bzgl. B so aus:
[mm] M_B_B(f)=\pmat{ M_{B_X}_{B_X}(f_X_X) & M_{B_Y}_{B_X}(f_Y_X) \\ M_{B_X}_{B_Y}(f_X_Y) & M_{B_Y}_{B_Y}(f_Y_Y)}.
[/mm]
In dem Falle nun, in welchem X und Y f-invariante Unterräume sind, wird diese Matrix zu
[mm] M_B_B(f)=\pmat{ M_{B_X}_{B_X}(f_X_X) & 0 \\ 0 & M_{B_Y}_{B_Y}(f_Y_Y)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 So 03.06.2007 | | Autor: | AriR |
vielen dank, jetzt weißt du auf jeden fall was ich meinte, nämlich genau das.
was ich jedoch noch anders hatte war die behauptung, dass wenn ich jetzt deine bezeichnungen beibehalte:
Nehmen wir zB [mm] M_{B_X}_{B_X}(f_X_X),
[/mm]
dann habe ich zusätlich noch behauptet, dass dies
[mm] M_{B_X}_{B_X}(f_X_X) [/mm] = [mm] M_{C}_{C}(\overline{f})
[/mm]
mit [mm] C:=(x_1+Y,...,x_k+Y)
[/mm]
und [mm] \overline{f}(x+Y)=f(x)+Y [/mm] mit [mm] x\in [/mm] X
also mit anderen worten, diese Matrix [mm] M_{B_X}_{B_X}(f_X_X)
[/mm]
ist gleich der darst. Matrix von [mm] \overline{f} [/mm] bzgl der Basis C
ist das richtig so?
gruß und nochmals vielen dank :)
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Hallo,
wenn ich Dich nun richtig verstehe, möchtest Du Verbindungen zu den Quotientenräumen V/X und V/Y knüpfen.
Das kann so, wie Du es Dir denkst, nicht richtig klappen.
Wenn ich jetzt in Dein Eingangspost zurückgehe, lese (und kombiniere) ich da etwas von "Basen"
> $ [mm] B_2=(x_1+,....,x_k+) [/mm] $
> $ [mm] B_4=(y_1+,....,y_k+) [/mm] $
des V/X
und
> $ [mm] B_1=(x_1+,....,x_k+) [/mm] $
> $ [mm] B_3=(y_1+,....,y_l+) [/mm] $
des V/Y.
Diese Basen haben einen riesengroßen Schönheitsfehler: [mm] B_1 [/mm] enthält k identische Vektoren von V/X, nämlich X, was der Nullvektor in V/X ist,
und entsprechendes hast Du bei [mm] B_3.
[/mm]
Von daher kann natürlich nicht von einer Abbildung [mm] \overline{f} [/mm] bzgl dieser Basen die Rede sein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 03.06.2007 | | Autor: | AriR |
danke schonmal für die antwort, nur leider verstehe ich dsa problem nicht ganz :(
ich fasse die [mm] B_i [/mm] ja nie zusammen, ich betrachte nur folgende darst. Matritzen:
[mm] M_{B_i}_{B_i}(\overline(f)) 1\ge i\ge4
[/mm]
und diese matritzen wären dann jeweils teile der gesammmatrix von f bzgl der Basis [mm] (x_1,...,x_k,y_1,...,y_l)
[/mm]
selbst wenn die [mm] B_i [/mm] nicht disjunkt sind, dürfte das doch eigentlich kein problem sein, die darst.matrix bzgl [mm] \overline(f) [/mm] zu konstruieren oder?
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Ich habe auch das Gefühl, daß Du das Problem nicht verstehst, bzw. Dich in selbstgeschaffene künstliche Probleme verstrickst.
Ist es Dir eigentlich klar, daß die so
> $ [mm] \overline{f}(x+Y)=f(x)+Y [/mm] $ mit $ [mm] x\in [/mm] $ X
definierte Abbildung keine Abbildung von V->V ist?
Es ist auch keine Abbildung von einer Teilmenge von V in eine Teilmenge von V.
Es ist eine Abbildung vom Quotientenraum (nach Y) in den Quotientenraum (nach Y).
Ist Dir klar, was x+Y ist? Es ist eine riesengroße Menge: [mm] {z\in V| z=a+\summe_{i=1}^{l}a_iy_l, a_i\in K , i=1,...,l}
[/mm]
Ebenso sind Deine "Basen" Familien von Vektoren in diesen Quotientenräumen, also Teilmengen des VRs V von einer bestimmten Machart.
Und - wie gesagt, die Hälfte Deiner Basen sind keine.
Das hat nichts mit Zusammenfassen zu tun, sondern mit den Elementen, die da drin stecken.
Diese Elemente sind [mm] \not\in [/mm] V, und sie sind (schlimmer!) nicht linear unabhängig.
Weil z.B. [mm] x_1+=x_2+= [/mm] ist.
Ich frage Dich:
rechnest Du wirklich absichtlich im Quotientenraum (er heißt oft auch Faktorraum), oder ist das ein Versehen?
FALLS Du nun aus Versehen in die Quotientenräume gestolpert bist: vergiß die Sache, bevor Du Dich selbst verwirrst durch unangebrachte Schreibweisen.
Wenn Du das, was ich Dir zur Machart der Matrizen geschrieben habe, verstanden hast, ist alles in bester Ordnung.
Wirklich wichtig ist, daß Du erkennst, daß die Kenntnis invarianter Unterräume sehr praktisch sein kann fürs Rechnen und dafür, zu verstehen, wie eine gegebene lineare Abbildung "funktioniert".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 03.06.2007 | | Autor: | AriR |
hey :)
ja ich bin extra im faktorraum, wollte ca genau so vorgehen wie in dem einen thread, von dem ich dir den link geschickt habe...
da geht man ja auch in den faktorraum um die untere rechte teilmatrix zu bekommen, dachte das könnte man dann vielleicht immer machen..
würde es denn nicht für die 2 basen klappen, die wirklich welche sind, also in unserem beispiel könnte man dann die teilmatritzen links oben und unten rechts so bekommen über die faktorräume.
stimmt das vielleicht?
vielen dank nochmal für die viele hilfe und gruß
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> da geht man ja auch in den faktorraum um die untere rechte
> teilmatrix zu bekommen, dachte das könnte man dann
> vielleicht immer machen..
>
> würde es denn nicht für die 2 basen klappen, die wirklich
> welche sind, also in unserem beispiel könnte man dann die
> teilmatritzen links oben und unten rechts so bekommen über
> die faktorräume.
>
> stimmt das vielleicht?
Ja, bei denen klappt das so, wie Du Dir denkst.
Gruß v. Angela
>
> vielen dank nochmal für die viele hilfe und gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:30 Mo 04.06.2007 | | Autor: | AriR |
alles klar, dann wird an dieser stelle glaub ich großes dankeschön für die viele hile mehr als nötig, also
DANKESCHÖN ;)
Gruß Ari
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Hallo,
ich habe mir das eben nochmal angeschaut.
Irgendwie ist da noch der Wurm drin.
Ich denke, wir sind uns inzwischen einig, daß die darstellende Matrix so aussieht:
$ [mm] M_B_B(f)=\pmat{ M_{B_X}_{B_X}(f_X_X) & M_{B_Y}_{B_X}(f_Y_X) \\ M_{B_X}_{B_Y}(f_X_Y) & M_{B_Y}_{B_Y}(f_Y_Y)}. [/mm] $
(Zur Erinnerung: die Sache mit der direkten Summe und den Projektionen.)
Deine Matrix
$ $ [mm] \pmat{ {M_{B_1}(\overline{f})} & {M_{B_3}(\overline{f})} \\ {M_{B_2}(\overline{f})} & {M_{B_4}(\overline{f})} } [/mm] $
. $
hat neben der inzwischen geklärten Sache, daß [mm] B_2 [/mm] und [mm] B_3 [/mm] keine Basen sind, noch ein weiteres Problem:
$ [mm] \pmat{ {M_{B_1}(\overline{f})} & * \\ * & {M_{B_4}(\overline{f})} } [/mm] $
die Abbildung [mm] \overline{f} [/mm] kann nicht in beiden Fällen dieselbe sein.
Irgendwo hattest Du sie so erkärt
> $ [mm] \overline{f}(x+Y)=f(x)+Y [/mm] $ mit $ [mm] x\in [/mm] $ X ,
also als Abb. von V/Y [mm] \to [/mm] V/Y.
Mit der kannst Du bei [mm] B_4 [/mm] gar nichts ausrichten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mo 04.06.2007 | | Autor: | AriR |
das müsste man dann dementsprechend anpassen zu
[mm] \overline(f)(y+X)=f(y)+X
[/mm]
wenn mich jetzt nicht alle täuscht oder irgendwie so oder, dann würde es wieder klappen denke ich.
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> das müsste man dann dementsprechend anpassen zu
>
> [mm]\overline(f)(y+X)=f(y)+X[/mm]
>
> wenn mich jetzt nicht alle täuscht oder irgendwie so oder,
> dann würde es wieder klappen denke ich.
Ja.
Damit klappt's dann wieder für die genannten Stellen der Matrix.
Wenn X und Y beide invariante Unterräume sind, hast Du damit die Matrix komplett.
Ich hab's nun nicht bis ins Letzte überlegt, aber vermutlich bekommst Du die anderen Stellen der Matrix auch.
Du würdest dazu zwei weitere Funktionen [mm] \to [/mm] bzw. [mm] \to [/mm] definieren müssen.
Und dann wärst Du genau da, wo ich auch bin.
4 Funktionen, zwei Basen.
Allderdings finde ich den Weg nicht sonderlich vorteilhaft und irgendwie "nichtorganisch", weil man unnötigerweise Basen und Räume einer ganz anderen Machart ins Spiel bringt.
Aber wenn Du jetzt wieder ruhig schlafen kannst, ist ja schon viel gewonnen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mo 04.06.2007 | | Autor: | AriR |
lol danke kann ich jetzt wohl hoffe ich.
es ging eingentlich auch mehr ums verständnis :)
also nochmal vielen vielen dank für die ganze hilfe
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