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| Aufgabe | die konugiert-transponierte Matrix C* einer Matrix C mit komplexen Einträgen [mm] C_{ij} [/mm] ist definiert durch [mm] c_{ji} [/mm] * = [mm] \overline{C_{ij}} [/mm] . Seien m,n,p [mm] \in \IN [/mm] und A [mm] \in \IC^{m x n} [/mm] , B [mm] \in \IC^{n x p} [/mm] . Zeigen Sie, dass
(AB)* = B*A* |
huhu, eine alte Übungsaufgabe von mir die ich nochma durchgehen möchte.
Die Einträge von einer Matrix [mm] \IC_{ji} [/mm] kann man so darstellen oder?
[mm] \summe_{k=j,i}^{n} a_{ji} \* \IC_{ji} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Sa 28.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> die konugiert-transponierte Matrix C* einer Matrix C mit
> komplexen Einträgen [mm]C_{ij}[/mm] ist definiert durch [mm]c_{ji}[/mm] * =
> [mm]\overline{C_{ij}}[/mm] . Seien m,n,p [mm]\in \IN[/mm] und A [mm]\in \IC^{m x n}[/mm]
> , B [mm]\in \IC^{n x p}[/mm] . Zeigen Sie, dass
>
> (AB)* = B*A*
> huhu, eine alte Übungsaufgabe von mir die ich nochma
> durchgehen möchte.
>
> Die Einträge von einer Matrix [mm]\IC_{ji}[/mm] kann man so
> darstellen oder?
>
> [mm]\summe_{k=j,i}^{n} a_{ji} \* \IC_{ji}[/mm]
Was da oben steht ist völliger Unsinn !
Eine Matrix C hat die Darstellung $C=( [mm] c_{ji} [/mm] )$
"Kreuze" die j-te Zeile mit der i-ten Spalte: dort steht der Eintrag $ [mm] c_{ji} [/mm] $
FRED
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> die konugiert-transponierte Matrix C* einer Matrix C mit
> komplexen Einträgen [mm]C_{ij}[/mm] ist definiert durch [mm]c_{ji}[/mm] * =
> [mm]\overline{C_{ij}}[/mm] . Seien m,n,p [mm]\in \IN[/mm] und A [mm]\in \IC^{m x n}[/mm]
> , B [mm]\in \IC^{n x p}[/mm] . Zeigen Sie, dass
>
> (AB)* = B*A*
> huhu, eine alte Übungsaufgabe von mir die ich nochma
> durchgehen möchte.
>
> Die Einträge von einer Matrix [mm]\IC_{ji}[/mm] kann man so
> darstellen oder?
>
> [mm]\summe_{k=j,i}^{n} a_{ji} \* \IC_{ji}[/mm]
Hallo,
du machst hier ein Durcheinander mit den verschiedenen "C" ,
die hier vorkommen: einerseits die Grundmenge [mm] \IC [/mm] der
komplexen Zahlen, aus welcher die Elemente der Matrizen
stammen, und dann die Matrizen C und [mm] C^{\ast}. [/mm] Mein
Vorschlag: Schreibe für das Matrixprodukt M anstatt C, also
$\ M:=A*B$
$\ [mm] M^{\ast}\ [/mm] :=\ [mm] \overline{M}^T$
[/mm]
$\ [mm] M^{\ast}_{j\,i}\ [/mm] :=\ [mm] \overline{M_{i\,j}}$
[/mm]
(Bemerkung: beim Schreiben solcher Ausdrücke habe ich
auch ein wenig Mühe mit den $\ T_EX$ - Symbolen, insbe-
sondere mit den hochgestellten Sternchen ...)
LG
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hey
alle schön und gut, wenn meine Darstellung falsch ist, wie stellt mans richtig da? in der Musterlösung hatten wir was halt mit Summenzeichen gemacht.
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> hey
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> alle schön und gut, wenn meine Darstellung falsch ist, wie
> stellt mans richtig da? in der Musterlösung hatten wir was
> halt mit Summenzeichen gemacht.
Klar, in der Berechnung des Produkts kommen dann
natürlich Summen vor:
> die konugiert-transponierte Matrix C* einer Matrix C mit
> komplexen Einträgen [mm]C_{ij}[/mm] ist definiert durch [mm]c_{ji}[/mm] * =
> [mm]\overline{C_{ij}}[/mm] . Seien m,n,p [mm]\in \IN[/mm] und A [mm]\in \IC^{m x n}[/mm]
> , B [mm]\in \IC^{n x p}[/mm] . Zeigen Sie, dass
> (AB)* = B*A*
$\ M:=A*B$
$\ [mm] M^{\ast}\ [/mm] :=\ [mm] \overline{M}^T$
[/mm]
[mm] $\mbox{\huge {\text{\rm{ M}}_{j\,i}^{\ast}\ :=\ \overline{M_{i\,j}}\ =\ \overline{\summe_{k=1}^{n}A_{ik}*B_{kj}}}}$
[/mm]
So, nun kann man darauf einmal die Regeln für die
Konjugation anwenden.
Nachher $\ [mm] B^{\ast}*A^{\ast}$ [/mm] hinschreiben und ebenfalls
umformen, bis man für beide Rechnungen dasselbe
Ergebnis hat ...
LG
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