de Moivre < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre für alle reellen x :
a) $\ sin 2x = 2 sin x cos x $ , $cos 2x = [mm] cos^{2}x [/mm] - [mm] sin^{2}x [/mm] $,
b) $sin 3x = 3 sin x - 4 [mm] sin^{3}x [/mm] $ , $cos 3x = 4 [mm] cos^{3}x [/mm] - 3 cos x$ .
c) entsprechende Formeln für sin 4x und cos 4x . |
Leider haben wir de Moivre in der Vorlesung gar nicht durchgesprochen, weil uns die Zeit fehlte. Können müssen wir es trotzdem.
Ich habe jetzt folgendes dazu gefunden:
$ (cos [mm] \varphi [/mm] + i*sin [mm] \varphi)^{n}=cos (n\varphi) [/mm] + [mm] i*sin(n\varphi) [/mm] $
und das man da mit dem binomischen Lehrsatz was drehen kann. Nur weiß ich nicht, wie ich ansetzen soll.
Ich sehe zwar bei a), dass $ \ 2 sin (x) cos (x) $ teil der binomischen Formel $ [mm] (sin(x)+cos(x))^{2} [/mm] $ sein könnte und man $ [mm] cos^{2}x [/mm] - [mm] sin^{2}x [/mm] $ zu $ \ (cos(x)+sin(x))*(cos(x)-sin(x)) $ umwandeln kann, weiß aber nicht ob mir dasunbedingt weiterhilft.
|
|
| |
|
> Zeigen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre für alle
> reellen x :
> a) [mm]\ sin 2x = 2 sin x cos x [/mm] , [mm]cos 2x = cos^{2}x - sin^{2}x [/mm],
>
> b) [mm]sin 3x = 3 sin x - 4 sin^{3}x[/mm] , [mm]cos 3x = 4 cos^{3}x - 3 cos x[/mm]
> .
> c) entsprechende Formeln für sin 4x und cos 4x .
> Leider haben wir de Moivre in der Vorlesung gar nicht
> durchgesprochen, weil uns die Zeit fehlte. Können müssen
> wir es trotzdem.
>
> Ich habe jetzt folgendes dazu gefunden:
>
> [mm](cos \varphi + i*sin \varphi)^{n}=cos (n\varphi) + i*sin(n\varphi)[/mm]
>
> und das man da mit dem binomischen Lehrsatz was drehen
> kann. Nur weiß ich nicht, wie ich ansetzen soll.
>
> Ich sehe zwar bei a), dass [mm]\ 2 sin (x) cos (x)[/mm] teil der
> binomischen Formel [mm](sin(x)+cos(x))^{2}[/mm] sein könnte und man
> [mm]cos^{2}x - sin^{2}x[/mm] zu [mm]\ (cos(x)+sin(x))*(cos(x)-sin(x))[/mm]
> umwandeln kann, weiß aber nicht ob mir das unbedingt
> weiterhilft.
Hallo n0000b,
Multipliziere nur mal die Terme
[mm] (cos(x)+i*sin(x))^2
[/mm]
[mm] (cos(x)+i*sin(x))^3
[/mm]
[mm] (cos(x)+i*sin(x))^4
[/mm]
komplett aus, ev. mit Zuhilfenahme des Pascalschen
Dreiecks, fasse Real- und Imaginärteile zusammen
und vergleiche mit dem, was in der entsprechenden
Moivre-Formel auf der anderen Seite steht !
LG Al-Ch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> Multipliziere nur mal die Terme aus
>
> [mm](cos(x)+i*sin(x))^2[/mm]
>
> [mm](cos(x)+i*sin(x))^3[/mm]
>
> [mm](cos(x)+i*sin(x))^4[/mm]
>
[mm](cos(x)+i*sin(x))^2=cos^2(x)-sin^2(x)+2isin(x)cos(x)[/mm]
[mm](cos(x)+i*sin(x))^3=isin^3(x)+cos^3(x)+3isin(x)cos^2(x)-3sin^2(x)cos(x)[/mm]
[mm](cos(x)+i*sin(x))^4=sin^4(x)+cos^4(x)+4isin(x)cos^3(x)-6sin^2(x)cos^2(x)-4isin^3(x)cos(x)[/mm]
Nun bei a sieht man ziemlich deutlich, das da die Terme auftauchen. bei b und c sieht man das aber schon nicht mehr so.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo n0000b!
Wie bereits oben geschreiben, musst Du nunmehr nach Real- und Imaginärteil sortieren und gegebenüberstellen.
Für die endgültigen Ergebnisse benötigst Du dann z.B. noch [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Also wenn ich das jetzt für ^3 mal sortiere:
[mm]cos^3(x)-3sin^2(x)cos(x)+i(3sin(x)cos^2(x)-sin^3(x))[/mm]
Komme ich jetzt nur mit Additionstheoremen weiter?
|
|
|
| |
|
> Also wenn ich das jetzt für ^3 mal sortiere:
>
> [mm]cos^3(x)-3sin^2(x)cos(x)+i(3sin(x)cos^2(x)-sin^3(x))[/mm]
>
> Komme ich jetzt nur mit Additionstheoremen weiter?
Nehmen wir nun einmal den Realteil. Nach dem
Satz von de Moivre entspricht der dem $\ [mm] cos(3x)\,$, [/mm]
also:
[mm] cos(3x)=cos^3(x)-3sin^2(x)cos(x)
[/mm]
Das ist schon eine gültige Formel, aber man kann
sie mit Hilfe der Gleichung [mm] sin^2(x)=1-cos^2(x) [/mm] in
eine etwas "schönere" Formel verwandeln, bei der
rechts nur noch [mm] $\,cos(x)$ [/mm] und kein [mm] $\,sin(x)$ [/mm] mehr
auftritt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
ok, für n=4 bekomme ich [mm]cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1[/mm]
aber bei [mm]sin(4x)=4sin(x)cos^3(x)-4Sin^3(x)cos(x)[/mm] weiß ich nicht mehr weiter.
|
|
|
| |
|
> ok, für n=4 bekomme ich [mm]cos(4x)=8cos^4(x)-8cos^2(x)+1[/mm]
>
> aber bei [mm]sin(4x)=4sin(x)cos^3(x)-4sin^3(x)cos(x)[/mm] weiß ich
> nicht mehr weiter.
Hi n0000b,
sofern das soweit stimmt, kann man $\ 4*sin(x)*cos(x)$
ausklammern und hat:
[mm] sin(4x)=4*sin(x)*cos(x)*(cos^2(x)-sin^2(x))
[/mm]
Nun könnte man dies z.B. auch so schreiben:
[mm] sin(4x)=4*sin(x)*cos(x)*(2*cos^2(x)-1)
[/mm]
[mm] =8*sin(x)*cos^3(x)-4*sin(x)*cos(x)
[/mm]
Eine Vereinfachung hat man damit aber offen-
sichtlich nicht erzielt. Einfacher als "sin(4x)"
geht es bestimmt nicht.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Danke
|
|
|
|
