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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert:
[mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2}$ [/mm] |
Was ja hier ersichtlich ist, ist, dass l'Hospital wohl nicht viel helfen wird. Wie macht man das hier sonst? Geht das wieder über so eine Art Ungleichung wie die hier:
$-1 [mm] \leq \lim_{x \to \infty} [/mm] sin(x) [mm] \leq [/mm] +1$
[mm] $\Rightarrow \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} \leq +\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Wenn man das aber nun zu Ende führt, dann kommt raus, dass gilt:
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} \leq [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow \frac{x^2+sin(x)}{x^2} [/mm] = 0$
Und das stimmt laut Lösung nicht. Es sollte eigentlich 1 rauskommen...
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Hallo bandchef,
> Berechnen sie den Grenzwert:
>
> [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2}[/mm]
> Was ja hier
> ersichtlich ist, ist, dass l'Hospital wohl nicht viel
> helfen wird. Wie macht man das hier sonst? Geht das wieder
> über so eine Art Ungleichung wie die hier:
>
> [mm]-1 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} \leq +1[/mm]
Wie kommst du darauf?
Es ist doch [mm]1-\le\sin(x)\le 1[/mm], also wegen [mm]x>0[/mm] (du betrachtest ja [mm]x\to\infty[/mm]:
[mm]\frac{x^2-1}{x^2}\le\frac{x^2+\sin(x)}{x^2}\le\frac{x^2+1}{x^2}[/mm]
Also mit dem Sandwichlemma: [mm]\frac{x^2+\sin(x)}{x^2} \to 1[/mm] für [mm]x\to\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} \leq +\frac{1}{x^2}[/mm]
>
> Wenn man das aber nun zu Ende führt, dann kommt raus, dass
> gilt:
>
> [mm]\Rightarrow 0 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} \leq 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{x^2+sin(x)}{x^2} = 0[/mm]
>
> Und das stimmt laut Lösung nicht. Es sollte eigentlich 1
> rauskommen... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klammere mal direkt im Ausgangsterm im Zähler [mm]x^2[/mm] aus und nutze die Beschränktheit des Sinus aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 17.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Du kannst auch erst wie folgt umformen. Damit sollte das gewünschte Ergebnis schnell klar sein:
[mm]\bruch{x^2+\sin(x)}{x^2} \ = \ \bruch{x^2}{x^2}+\bruch{\sin(x)}{x^2} \ = \ 1+\bruch{\sin(x)}{x^2}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Di 19.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich das jetzt so umforme, wie ihr alle gesagt habt, dann sieht das jetzt bei mir so aus:
[mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} [/mm] = ... = [mm] \lim_{x \to \infty} 1+\frac{sin(x)}{x^2} [/mm] = ... ?$
Was passiert aber jetzt wenn das Argument des Sinus gegen unendlich geht? Soweit ich mich entsinnen kann, alterniert dieser. Das heißt es bringt mich jetzt nicht weiter einfach den limes anzuwenden.
Was soll ich dann tun? Ich hab natürlich gelesen, dass ich die Beschränktheit des Sinus ausnutzen soll, leider weiß ich nicht was das bedeuten soll. Beschränktheit heißt hier wohl, dass der Sinus zwischen -1 und +1 alterniert. Wie mich das aber nun zum Grenzwert bringt verstehe ich nicht.
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> [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+sin(x)}{x^2} [/mm] = ... = [mm] \lim_{x \to \infty} 1+\frac{sin(x)}{x^2} [/mm] = ... ?$
Du hast ja in deinem ersten Post bereits die passende Abschätzung dafür stehen...
$ [mm] \lim_{x \to \infty} 1+\frac{-1}{x^2} \leq \lim_{x \to \infty} 1+\frac{sin(x)}{x^2} \leq \lim_{x \to \infty} 1+\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Und jetzt einfach die linke und die rechte Seite ausrechnen und, oh wunder, es kommt das gleiche raus. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \frac{|sin(x)|}{x^2} \le \frac{1}{x^2}$
[/mm]
Was pssiert , wenn x [mm] \to \infty [/mm] geht ?
FRED
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