definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Di 06.11.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute,
was für eine eigenschaft ist eigentlich genau die definitheit von matritzen? die def ist mir bekannt aber die ist meiner meinung nach absolut nicht anschaulich. bei wiki steht sowas wie:
"Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, die durch Matrizen oder allgemeiner durch Bilinearformen erzeugt werden."
was genau soll hierbei das vorzeichen einer matrix sein?
hat einer von euch vllt eine anschauliche erklärung für den begriff speziell in bezug auf matritzen?
gruß ;)
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Eine bilineare Form kannst Du als Erweiterung des Skalarprodukts ansehen.
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst istimmer positiv, ausser wenn es der Nullvektor ist. Deshalb ist das Skalarprodukt positiv definit.
Das Vorzeichen bezieht sich also nicht auf die Matrix selbst, sondern auf die "ergebnisse" von [mm] $v^T [/mm] A v$ für alle Vektoren $v$
Wenn du reelle 1x1 Matrizen anschaust, so entspricht positiv definit einer positiven Zahl.
z.B. A = (3): 3 ist positiv, (3) ist positiv definit.
[mm] $x\cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \geq [/mm] 0$ und [mm] $x\cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] x=0$ gdw $x=0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 07.11.2007 | | Autor: | AriR |
und was für geom. eigenschafte kann man der matrix zusprechen, wenn sie pos. oder neg. definit ist?
was bedeutet definit eigentlich? ich verstehe immer noch nicht genau, wie man sich das veranschaulichen kann :(
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$A$ Positiv definit heisst [mm] $\langle [/mm] v, A v [mm] \rangle\geq 0\;\forall [/mm] v$, also dass das Bild eines jeden Vektors mit dem Urbild einen spitzen Winkel einschliesst, oder dass die Projektion des Bildes auf das Urbild die gleiche Orientierung wie das Urbild hat.
Bild, Urbild sind bezüglich der Abbildung [mm] $x\to [/mm] Ax$ gemeint.
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