definitheit matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 03.07.2005 | | Autor: | bobby |
Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:
Charakterisiere anhand von [mm] sgn(a_{11}) [/mm] wann eine symmetrische 2 x 2 Matrix [mm] A=(a_{ij}) \in \IR^{2,2} [/mm] positiv definit, negativ definit oder indefinit ist.
Ich dachte [mm] sgn(a_{11}) [/mm] sieht so aus: [mm] A=\pmat{ a_{11} & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Diese Matrix habe ich dann auf Definitheit untersucht und meiner Meinung nach ist die aber immer nur semidefinit, ob positiv oder negativ semidefinit hängt dann von [mm] a_{11} [/mm] ab...
Daher weis ich jetzt nicht wie ich das charakterisieren soll...
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Hallo Bobby,
erstmal etwas zur Signumfunktion sgn : [mm] \IR \to [/mm] {-1,0,1}, [mm] sgn(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{falls } x < \mbox{ 0 } \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ = 0 } \\ 1, &\mbox{ falls } x > \mbox{ 0 }\end{cases}
[/mm]
[mm] A=(a_{ij}) \in \IR^{2,2}, [/mm] also [mm] A=\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} }.
[/mm]
Falls A symmetrisch ist, d.h. [mm] A=A^T [/mm] (hier: [mm] a_{1,2}=a_{2,1}), [/mm] dann gilt:
A ist:
(i) positiv definit, falls [mm] a_{1,1}>0 [/mm] (also [mm] sgn(a_{1,1})=1) [/mm] und det(A)>0.
(ii) negativ definit, falls [mm] a_{1,1}<0 [/mm] (also [mm] sgn(a_{1,1})=-1) [/mm] und det(A)>0.
(iii) indefinit, falls det(A)<0.
gruss,
logarithmus
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