delta-epsilon-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Do 05.01.2012 | | Autor: | sissile |
Mit der Stetigkeit fehlt mir etwas das Verständnis.
Wie kann ich mit dem Epsilon,Delta-Kriterium zeigen, dass 1/x nicht stetig ist bei [mm] x_0=0 [/mm] ?
[mm] |f(x)-f(x_0) [/mm] | = [mm] \frac{|x-x_0|}{x*x_0}
[/mm]
So ist ja der Nenner nicht defeniert, aber wie soll ich das nun mit den Epsilon,Delta-Kriterium zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit der Stetigkeit fehlt mir etwas das Verständnis.
> Wie kann ich mit dem Epsilon,Delta-Kriterium zeigen, dass
> 1/x nicht stetig ist
wenn man Unstetigkeit zeigen will: verneine erstmal das Kriterium: $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] ist genau dann unstetig an [mm] $x_0 \blue{\in M}\,,$ [/mm] wenn es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ gibt, so dass gilt: Für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ existiert eine Stelle [mm] $x_1=x_1(\delta) \blue{\in M}$ [/mm] mit [mm] $|x_1-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und
[mm] $$|f(x_1)-f(x_0)| [/mm] > [mm] \epsilon_0\,.$$ [/mm]
(Evtl. muss man, je nachdem wie ihr Stetigkeit definiert hat, um wirklich Eure Definition zu negieren, ein [mm] $<\,$ [/mm] durch [mm] $\le$ [/mm] oder das [mm] $>\,$ [/mm] durch [mm] $\ge$ [/mm] ersetzen. Obiges ist dann aber äquivalent dazu.)
> bei [mm]x_0=0[/mm] ?
Solange [mm] $f(0)\,$ [/mm] nicht explizit definiert wurde: Gar nicht. Ist $f: A [mm] \to \IR$ [/mm] mit $0 [mm] \notin [/mm] A$ und [mm] $f(x):=1/x\,,$ [/mm] so kann man per Definition des Begriffes "Stetigkeit einer Funktion (an einer Stelle)" nur Stetigkeit an den Stellen prüfen, die zum Definitionsbereich gehören. In diesem Sinne gilt etwa:
$$f: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR$$
[/mm]
mit [mm] $f(x)=1/x\,$ [/mm] ist stetig. Der Beweis ist mit dem Folgenkriterium leicht: Ist [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] eine reelle Zahl und sind [mm] $x_n \not=0$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] so folgt bekanntlich schon [mm] $1/x_n \to 1/x_0\,.$
[/mm]
Was man oben zeigen könnte: Für jede Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] mit $0 [mm] \notin M\,,$ [/mm] aber [mm] $0\,$ [/mm] sei ein Häufungspunkt von [mm] $M\,,$ [/mm] so dass $M [mm] \ni x_n [/mm] < 0$ mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und so, dass $M [mm] \ni y_n [/mm] > 0$ mit [mm] $y_n \to [/mm] 0$ existieren (ich sage mal ein wenig salopp: "bzgl. [mm] $M\,$ [/mm] sei [mm] $x_0=0$ [/mm] linksseitiger und rechtsseitiger Häufungspunkt" - für $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] macht diese Sprechweise jedenfalls irgendwie Sinn), dann kann man [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig an [mm] $0\,$ [/mm] fortsetzen. D.h. für jede Wahl $r [mm] \in \IR$ [/mm] (beachte: [mm] $\pm \infty \notin \IR$) [/mm] ist die durch $f(0):=r$ fortgesetzte Funktion mit Definitionsbereich $M [mm] \cup \{0\}$ [/mm] unstetig.
> [mm]|f(x)-f(x_0)[/mm] | = [mm]\frac{|x-x_0|}{x*x_0}[/mm]
> So ist ja der Nenner nicht defeniert, aber wie soll ich
> das nun mit den Epsilon,Delta-Kriterium zeigen?
Gar nicht. Es macht keinen Sinn, eine Funktion an Stellen zu untersuchen, an denen sie nicht definiert ist. Wenn man genau drüber nachdenkt, ist es eigentlich witzig, dass manche trotzdem so denken und handeln:
Denn wenn ich $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=1$ betrachte, so sagt jeder, diese Funktion ist stetig. Und keiner sagt: Aber an der Stelle $i [mm] \in \IC:$ [/mm] Ist denn da [mm] $f\,$ [/mm] stetig?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit der Stetigkeit fehlt mir etwas das Verständnis.
> Wie kann ich mit dem Epsilon,Delta-Kriterium zeigen, dass
> 1/x nicht stetig ist bei [mm]x_0=0[/mm] ?
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)[/mm] | = [mm]\frac{|x-x_0|}{x*x_0}[/mm]
übrigens: Erstmal kannst Du auch nur [mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}=\frac{x_0-x}{x*x_0}$ [/mm] hinschreiben (und zwar links und rechts des Gleichheitszeichens), wenn [mm] $x\not=0$ [/mm] und [mm] $x_0 \not=0\,.$ [/mm] Ferner kannst Du (generell) [mm] $f(x)\,$ [/mm] nur hinschreiben, wenn [mm] $x\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] ist, und [mm] $f(x_0)$ [/mm] macht nur Sinn, wenn [mm] $x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] ist.
Aber noch ergänzend:
Für $x [mm] \not=0\not=x_0$ [/mm] gilt mit [mm] $f(x)=1/x\,$ [/mm] i.a. sicher nicht
[mm] $$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|=\frac{|x-x_0|}{x*x_0}\,,$$
[/mm]
sondern
[mm] $$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|=\left|\frac{x_0-x}{x*x_0}\right|=\frac{|x_0-x|}{|x*x_0|}=\frac{|x-x_0|}{|x*x_0|}\,,$$
[/mm]
Bei Dir fehlen Beträge im Nenner, und dort darf weder [mm] $x\,$ [/mm] noch [mm] $x_0$ [/mm] den Wert [mm] $0\,$ [/mm] haben!
Gruß,
Marcel
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