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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Do 29.11.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | Betrachte das Verhalten der folgenden Funktionen [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x) [/mm] fuer [mm] \epsilon\to [/mm] 0 und begründe, warum es plausibel erscheint, dass sie gegen die [mm] \delta [/mm] -Funktion konvergieren.
[mm] f_1(x)=\frac{\epsilon/\pi}{x^2+\epsilon^2}
[/mm]
[mm] f_2(x)=\frac{\theta(x+\epsilon)-\theta(x)}{\epsilon}
[/mm]
mit
[mm] \theta(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Berechne explizit
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f_1(x) dx}=1
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f_2(x) dx}=1 [/mm] |
hallo,
kann mir einer bitte weiterhelfen?
ich hab bis jetzt:
[mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} f_1(x)=\frac{\epsilon/\pi}{x^2}
[/mm]
ist das richtig? warum das gegen die [mm] \delta [/mm] -funktion konvergieren soll, seh ich nicht.
was mach ich mit [mm] f_2(x)?
[/mm]
danke!
gruss beta
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Wie kann denn [mm] \epsilon [/mm] noch im Grenzwert stehen, wenn du den über [mm] \epsilon [/mm] bildest?
Beide Funktionen sind nur für x=0 problematisch, ansonsten sind sie offenbar beide 0. Untersuche diese Stelle.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 29.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hi
> Wie kann denn [mm]\epsilon[/mm] noch im Grenzwert stehen, wenn du
> den über [mm]\epsilon[/mm] bildest?
eigentlich so wie ich es oben gemacht hab. was anderes faellt mir nicht ein. da [mm] \epsilon^2 [/mm] sehr viel schneller gegen null geht, kann man es wegglassen.
> Beide Funktionen sind nur für x=0 problematisch, ansonsten
> sind sie offenbar beide 0. Untersuche diese Stelle.
[mm] f_1(x) [/mm] geht gegen 1, da sowohl der nenner als auch der zaehler gegen null gehen, obwohl der nenner mit [mm] x^2 [/mm] staerker gegen null geht. geht dann [mm] f_1(x) [/mm] immernoch gegen 1?
[mm] f_2(x) [/mm] geht schon laut definition fuer x=0 gegen 1.
reichen diese begruendungen aus??
gruss beta
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Zum ersten: Wenn du einen Grenzwert über einen Parameter bildest - wie hier über [mm] \epsilon [/mm] - dann kann dieser Parameter im Grenzwert nicht mehr auftauchen, sonst ist die Grenzwertbetrachtung noch nicht abgeschlossen.
Zu den Grenzwerten wenn x=0: Setz mal direkt 0 für x ein. Dann kannst du den Bruch in [mm] f_1 [/mm] vereinfachen, aber es bleibt ein Polstelle, d.h. der Wert divergiert dort. Und auch [mm] f_2 [/mm] hat dort eine Polstelle. Also, wie war die [mm] \delta-Funktion [/mm] nochmal definiert?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:22 Fr 30.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hi,
> Setz mal direkt 0 für x ein.
> Dann kannst du den Bruch in [mm]f_1[/mm] vereinfachen, aber es
> bleibt ein Polstelle, d.h. der Wert divergiert dort. Und
> auch [mm]f_2[/mm] hat dort eine Polstelle.
[mm] f_1(0)=\frac{1}{\pi\epsilon}
[/mm]
[mm] f_2(0)=\frac{\theta(\epsilon)-\theta(0)}{\epsilon}=\frac{\theta(\epsilon)-1}{\epsilon}
[/mm]
> Also, wie war die
> [mm]\delta-Funktion[/mm] nochmal definiert?
[mm] \delta(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x \neq 0 \\ \infty, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] x\neq [/mm] 0: [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0}f_1(x) \to [/mm] 0
x=0: [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0}f_1(0)\to \infty,
[/mm]
also konvergiert [mm] f_1(x) [/mm] gegen die [mm] \delta [/mm] -funkton!
[mm] x\neq [/mm] 0: [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0}f_2(x)\to [/mm] 0
x=0: [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} f_2(0)\to \infty, [/mm]
also konvergiert [mm] f_2(x) [/mm] gegen die [mm] \delta [/mm] -funkton!
ist das richtig so?
danke!
gruss beta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 So 02.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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