der sinus und die integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{x*sin^2(x) dx} [/mm] |
Ich habe versucht die obige Aufgabe zu Integrieren.
und bin dabei folgendermaßen vorgegangen. Ihch habe die partielle Integration porobiert.
mit [mm] \integral_{a}^{b}{x*sin^2(x) dx}=\integral_{a}^{b}{x*sinx*sinx dx}
[/mm]
U'=x [mm] u=\bruch{x^2}{2} [/mm] v=sinx v'=2sinxcosx
dann bin ich auf [mm] \bruch{x^2}{2}sinx-\integral_{a}^{b}{x^2*cosxsinx dx}
[/mm]
gekommen. Wenn ich das letze Integral wieder versuche zu integrieren dann wird das ja eine kette ohne Ende. Wie geh ich da besser vor. Sollte ich etwa die Substitution anwenden oder habe ich micht total verhauen.
Gruß niesel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 So 18.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Niesel!
Der Ansatz über partielle Integration ist gut. Allerdings hätte ich die Teilfunktionen genau andersrum gewählt:
$u \ := \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
$v' \ = \ [mm] \sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\sin(x)$
[/mm]
Und um $v \ = \ [mm] \integral{\sin(x)*\sin(x) \ dx}$ [/mm] zu erhalten, ist eine weitere partielle Integration vonnöten.
Versuche es doch mal ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Beim Integrieren
[mm] \integral{sinx*sinxdx}
[/mm]
komm ich auf folgendes Integral [mm] -cosxsinx=\integral{cosxcosx dx}
[/mm]
dann geht der "Mist" ja wieder von vorn los. Ist das dann nicht eine kette ohne ende. Weil ich ja nur von Kosinus in Sinus usw. Integriere Es entsteht ja immer ein Intgeral was ich weiter integrieren muß
|
|
|
| |
|
> Beim Integrieren
> [mm]\integral{sinx*sinxdx}[/mm]
>
> komm ich auf folgendes Integral
> [mm]-cosxsinx=\integral{cosxcosx dx}[/mm]
>
> dann geht der "Mist" ja wieder von vorn los. Ist das dann
> nicht eine kette ohne ende. Weil ich ja nur von Kosinus in
> Sinus usw. Integriere Es entsteht ja immer ein Intgeral was
> ich weiter integrieren muß
>
Das siehst du völlig richtig - und trotzdem bist du auf dem richtigen Weg!
[mm]\integral{sinx*sinxdx}=-sin x * cosx+\integral{cosx*cosx dx}=-sin x * cosx+\integral{(1-sinx*sinx) dx}[/mm]
Das ist der Trick dabei! Also:
[mm]\integral{sinx*sinxdx}=-sin x * cosx+\integral{1 dx}-\integral{sinx*sinx dx}[/mm]
Jetzt bringst du das rechte Integral auf die linke Seite:
[mm]2*\integral{sinx*sinxdx}=-sin x * cosx+\integral{1 dx}=-sin x * cosx + x[/mm]
Division durch 2 liefert:
[mm]\integral{sinx*sinxdx}=\bruch{1}{2}(-sin x * cosx+ x)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 18.03.2007 | | Autor: | Ibrahim |
Hallo zusammen:
denkt ihr an Substitution
z=cosx [mm] \Rightarrow [/mm] dz=-sinx*dx
[mm] \integral_{a}^{b}{(cosx*sinx) dx}
[/mm]
z einsetzen
[mm] \integral_{cosa}^{cosb}{(z*sinx*\bruch{-dz}{sinx}) }
[/mm]
[mm] =\integral_{cosa}^{cosb}{(-z) dz}
[/mm]
[mm] =-\bruch{z²}{2}
[/mm]
= [mm] -\bruch{(cosa)²}{2}+\bruch{(cosb)²}{2}
[/mm]
ich hoffe kannst du weiter rechnen
Ibrahim
|
|
|
|
