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Forum "Determinanten" - det.
det. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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det.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Sa 19.04.2008
Autor: lenz

Aufgabe
sei K ein körper und [mm] A=(a_{ij}) \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n,K).
zeigen sie dass dann gilt:
[mm] det(a_{ij})=det((-1)^{i+j} a_{ij}). [/mm]
hinweis:weisen sie nach dass die abbildung [mm] M(n\times [/mm] n,K) [mm] \rightarrow [/mm] K
A [mm] \mapsto det((-1)^{i+j}a_{ij} [/mm] eine determinantenabbildung ist

hallo
kann mir jemand sagen was mit [mm] det(a_{ij}) [/mm] gemeint ist?
soll das det(A) sein,oder die entwicklung nach irgendeiner zeile oder spalte?
gruß lenz

        
Bezug
det.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Sa 19.04.2008
Autor: logarithmus


> sei K ein körper und [mm]A=(a_{ij}) \in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n,K).
>  zeigen sie dass dann gilt:
>  [mm]det(a_{ij})=det((-1)^{i+j} a_{ij}).[/mm]
>  hinweis:weisen sie
> nach dass die abbildung [mm]M(n\times[/mm] n,K) [mm]\rightarrow[/mm] K
> A [mm]\mapsto det((-1)^{i+j}a_{ij}[/mm] eine determinantenabbildung
> ist
>  hallo
>  kann mir jemand sagen was mit [mm]det(a_{ij})[/mm] gemeint ist?

Ich denke, hier ist gemeint: det(A) = det [mm] ((a_{ij})). [/mm]

>  soll das det(A) sein,oder die entwicklung nach irgendeiner
> zeile oder spalte?
>  gruß lenz

Also hier meint man, wenn das Vorzeichen von jedem Eintrag [mm] a_{ij} [/mm] von + nach - bzw. von - nach + geändert wird, dass es sich weiterhin um eine Determinanten handelt, und zwar dieselbe Determinante mit demselben Wert:
also [mm] det((a_{ij})) [/mm] = [mm] det((-1)^{i+j}(a_{ij})). [/mm]

Für den Beweis versuche die Formel von Leibnitz zu benutzen.
[mm] $det((a_{ij})) [/mm] = [mm] \summe_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\in perm(n)}sign((\sigma_1,\cdots,\sigma_n))a_{\sigma_1,1}\cdot...\cdot a_{\sigma_n,n}$ [/mm] .
Dann ist
[mm] $det((-1)^{i+j}(a_{ij})) [/mm] = [mm] \summe_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\in perm(n)}sign((\sigma_1,\cdots,\sigma_n))(-1)^{\sigma_1+1}a_{\sigma_1,1}\cdot...\cdot (-1)^{\sigma_n+n}a_{\sigma_n,n} [/mm] = ... $

Gruss,
logarithmus

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det.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Sa 19.04.2008
Autor: lenz

danke
ich werds versuchen
lenz

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det.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 20.04.2008
Autor: briddi

Wenn man die Aufgabe ohne Leibniz lösen möchte, sondern so wie in dem Hinweis angegeben,müsste es doch aber ausreichen die Determinanteneigenschaften Linearität,alternierend und normiert zu zeigen oder?
und wenn die gelten, dann folgt aus der Eindeutigkeit der Determinantenabbildung die Bahauptung.

Bezug
                        
Bezug
det.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 So 20.04.2008
Autor: felixf

Hallo

> Wenn man die Aufgabe ohne Leibniz lösen möchte, sondern so
> wie in dem Hinweis angegeben,müsste es doch aber ausreichen
> die Determinanteneigenschaften Linearität,alternierend und
> normiert zu zeigen oder?

Genau.

>  und wenn die gelten, dann folgt aus der Eindeutigkeit der
> Determinantenabbildung die Bahauptung.

Ja, so ist es. Und das Nachrechnen ist hier nicht allzu schwer, hauptsaechlich ist's Schreibarbeit :)

LG Felix


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