det(A) = 0 => 3 Pkt. kollinear < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 12.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Zeige: Die Punkte [mm] A(x_1 [/mm] | [mm] y_1), B(x_2 [/mm] | [mm] y_2), C(x_3 [/mm] | [mm] y_3) [/mm] liegen genau dann auf einer Geraden (sind kollinear), wenn
[mm] \vmat{ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 } [/mm] = 0 |
Hallo!
Ich arbeite schon seit längerem an diesem Beweis (wir haben ihn auch in einem anderen Forum gepostet - http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=111923), jedoch gibt es immer noch Verständnisprobleme.
Es ist also zu zeigen, dass die Punkte genau dann kollinear sind, wenn det(A) = 0 ist.
Also det(A) => P1, P2, P3 l.a.
Wie bringe ich nun die Vorbedingung rein?
Es ist doch so, dass wenn der Nullraum von A (Kern von A) nicht die leere Menge ist, dass die Matrix A nicht invertierbar ist.
Nicht invertierbar <=> det(A) = 0
Diese Aussagen sind ja äquivalent
Das bedeutet auch wieder, dass es im linearen Gleichungssystem A x^> = 0 einen Vektor gibt, mit x^> = (a,b,c), wobei a,b,c != 0 ist.
Jetzt kommt der Punkt an dem ich (wir) nicht mehr "mitkommen"
Wie schließe ich hier auf die lineare Abhängigkeit der einzelnen Punkte?
Gut, wenn ich die Geradengleichung aufschreibe für A [mm] *\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = 0
bekomme ich a [mm] x_1 [/mm] + b [mm] y_1 [/mm] + c = 0 heraus.
Wie gesagt, wie man dann auf die l.A. der Punkte untereinander schließt ist mir nicht klar!
Ich hoffe jemand hat einen Ratschlag.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst ja nicht beweisen, dass die Vektoren die auf die Punkte A,B,C zeigen linear abhaengig sind, sondern dass die Vektoren [mm] \vec{AB} \vec{BC} [/mm] linear abhaengig sind.
irgendwie ist das in der Diskussion untergegangen. natuerlich dann auch [mm] \vec{A} [/mm] Schrieb das erst mal auf, und dazu [mm] A*\vec{c}=0 [/mm] ist nicht trivial loesbar.
Gruss leduart
a
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 12.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Wow! Stimmt das ist total untergegangen!
Also, da Det(A) = 0 => es existiert keine Inverse => Nullraum != {} => LGS nichttrivial lösbar.
A x^> = 0^> ist nichttrivial lösbar
x^> = (a,b,c) != (0,0,0)
Wenn ich nun die Geradengleichungen hinschreibe:
[mm] ax_1 [/mm] + [mm] by_1 [/mm] + c = 0
[mm] ax_2 [/mm] + [mm] by_2 [/mm] + c = 0
[mm] ax_3 [/mm] + [mm] by_3 [/mm] + c = 0
{P1P2}^> = [mm] (x_2 [/mm] - [mm] x_1, y_2 [/mm] - [mm] y_1, [/mm] 0)
{P2P3}^> = [mm] (x_3 [/mm] - [mm] x_2, y_3 [/mm] - [mm] y_2, [/mm] 0)
Nun habe ich meine zwei Vektoren.
Was mache ich nun damit - ich stehe gerade etwas auf der Leitung...
Bilde ich die Parameterform?
Wie bringe ich die Aussage, dass det(A) = 0 ist, in den Beweis?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast noch immer nicht aufgeschrieben, was genau es bedeutet, dass die 3 Pkt auf einer Geraden liegen. ohne dass du dir das klar machst kommst du nicht weiter.
deine Geradn ax1+bx2+c=0 geht doch nur durch P1.
Gruss leduart
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